在中二左右，課程大概進入等腰三角形和等邊三角形的部分，這類題目的變化很多，尤其當內容滲入一些中一的平行線知識後，基礎未穩的學生就會感到生疏，解題時老是想不通。這時候找書或上網，查一查平行線的知識，一邊看着中一時的定理，一邊解題，那會比較有效。有時幾何的定理未熟練，忘了大半的事情是很難拿出來用的，所以對着一大堆定理來解題比較有用。
這次分享一道關於等腰三角形和等邊三角形的問題。
問題：在△ABC中，AB = AC。D、E和F分別在線段AB、BC和CA之上，其中△DEF是等邊三角形。求證：∠DEB = [1][2] (∠ADF + ∠CFE)。（圖一）
答案：由於△DEF是等邊三角形，所以三隻內角都是60o。
再由AB = AC，設x = ∠B = ∠C。
另外，根據三角形的外角，得x + ∠DEB = 60o + ∠ADF及x + ∠CFE = 60o + ∠DEB。兩式相減，消去x，得∠DEB - ∠CFE = ∠ADF - ∠DEB。整理後得∠DEB = [1][2] (∠ADF + ∠CFE)。
這道題目不算複雜，當中技巧主要是等腰三角形的底角相同，從而列出兩條關於底角與條件中的角的關係算式，之後消去底角，就得到題目要求的算式。幾何定理中有許多算式，說到底就是幾個角幾條線之間有數量上的關係，知道其中一部分，可以推出餘下部分的意思。有了這個想法，就大概知道要證明一些等式的時候，不斷用各種定理去找關係，漸漸就會浮現出題目所要求的東西。
在找關係時，盡量找一些跟已知大小的角相關的，也找些圖形裡多次出現的角相關的，比如等腰三角形的底角就出現了兩次。
在連繫着各樣的關係時，由於已知的角和多次出現的角，大概都是同一堆，於是加減起來也就容易了。即使算不出數字的答案，也有助化簡。
把幾何定理當中的算式關係，幾隻角幾條邊的一堆一堆地看，將各樣的關係重重疊疊起來，然後找找在解題中有什麼線索，不時都是一個好的方法。平常的學生，往往見着一條定理就只是一條，很零碎的，幾條合起來就覺得有點亂，又多又煩，未能夠把邊和角成組地看，從而作出較深遠的洞察。
比如說等腰三角形的三隻內角，雖然有三隻，但其中兩隻是一樣的，而且只需要知道其中一隻底角x，那麼頂點的角也可以用x表示的，也就是180o - 2x。反過來說，知道頂點的角，也可以用來表示底角。總之三隻角實際上就只有一個未知數。把幾個未知的數，化簡成一個未知數來討論，想法就可以簡單許多。
又比如討論平行線的角，談起同位角、錯角和同旁內角，混合在一起來說，其實就是對於一對平行線，有一條斜線與它們相交時，就有8隻角，而說到底這8隻角就只有兩個數量，就是圖二中紅色與綠色那樣大小，並且兩個數加起來是180o。也就是說，8隻角中，實際就只有一個未知數。
幾何問題中，能一組一組的關係來看，明白實際要計出來的未知數大概有幾多個，那就少了一點迷惑的感覺，思考也就多了線索。 ■張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校