[2004-10-29] 講史茶館：「零」的概念

放大圖片

　算盤這簡單的計數器凝集了中國古老的數學概念

林載譽

　古希臘人用小石卵記畜群的頭數或部落的人數。事實上，英文calculate（計算）一詞是從希臘文calculus（石卵）演變來的。中國古籍《易經．系辭》中說：「上古結繩而治，後世聖人易之以書契。」等都是數學理論的起源。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數的文字。從一到十，及百、千、萬是專用的記數文字，共有13個獨立符號，記數用合文書寫，其中有十進位制的記數法，出現最大的數字為三萬。

古代沒有零符號

　世界上最早採用十進位值制記數法的是中國人。中國古代沒有筆算，而在籌算中通常用空位表示零，實際上是一種沒有筆畫的符號。算籌是中國古代的計算工具，而這種計算方法稱為籌算。算籌的產生年代已不可考，但可以肯定的是籌算在春秋時代已很普遍。零不僅表示「無」，更是表示空位的符號。宋、元數學著作中多有細草。細草中的數字是借用籌算數字加一個代表零的符號「○」而成的。

　由於中國長期沒有採用專門表示零的符號，這是中國語言文字上的特點。除了個位數外，還有十、百、千、萬位數。因此數目230就可寫成「二百三」，而在「三」之前通常加上「有」字來表示），意思便很明確了，而203便寫成「二百零三」，這裡的「零」是「零頭」的意思。

「空格」很重要

　除此之外，由於古代中國很早（不晚於公元前五世紀）就普遍地採用算籌作為基本的計算工具。在籌算數字中，是以空位來表示零的。由於中國數字是一字一音、一字一格的，從一到九的數字亦是一數一字，所以在書寫的時候，一格代表一個數，一個空格即代表一個零，兩個空格即代表兩個零，這就是最早有零的概念出現了。

　十三世紀，中國的秦九韶、李冶使用了大體一致的數字。其實符號「○」是中國人所獨創的。原來中國古籍的抄寫中，有用□表示脫文(即是校勘的學術語，指古書抄刊中脫誤的字)的習慣，書寫的方便、快捷，逐漸變成了「○」形。在中國的古書中，缺字一般會用方塊□來表示，但當時的人通常書寫行書，很容易把方塊畫成圓圈，所以後來便以○來表示「零」，也逐漸成了慣例。這種記數法最早在金《大明曆》中已採用，例如以「四百○三」表示403，後來漸漸通行於全國。

　但是，中國古代的零是圓圈「○」，並不是現代常用的扁圓。希臘的托勒密是最早採用這種扁圓0號的人，由於古希臘數字是沒有位值制的，因此零並不是十分迫切的需要，但當時用於角度上的60進位制（源自巴比倫人，沿用至今），很明確的以扁圓0號表示空位，例如代表4100’18”。後來印度人的「0」號，也是受其所影響。符

老子發展「無」的觀念

　老子在《道德經》中提到宇宙萬物的起源：「天下萬物生於有，而有生於無。」就是說生出萬物的「有」，而有生於「無」，因此歸根說來，萬物生於「無」。「無」就是「甚麼都沒有」的概念。說到甚麼都沒有，一般人心中就認為這不是一個實質的東西。可是從數學觀點來看，「無」就是「零」。「零」是數學上的一個很重要的觀念。如果把零的觀念去除，所有的數學理論就不可能產生了。

　老子雖然沒有發明數學上的「零」的觀念，他卻發展出了「無」的觀念。在《道德經》第十一章中他提出「無」的存在。他說：「一個輪子的三十輪輻共一個軸心，而最重要的乃是軸心中的空洞（無），可以讓軸放入。把一塊泥巴製成一個器皿，最重要的部分乃是可以容納物體的空穴（無）。鑿牆成門窗，房間中有用的是它的『無』的地方。因此，『有』給人們帶來物質功利，可是『無』才使得它們真正有用。」（中國古代數學歷史(一)）