處理幾何的問題時，一般來說有純幾何的方向和代數的方向。純幾何可以用一些幾何變換，好像平移、旋轉和反射之類。而代數法，則是設未知數，找代數關係。或者是用上了坐標幾何，綜合兩者的想法。這次分享一些處理幾何題目的技巧。
問 題
在圖一中，ABCD是一個正方形，其中PA︰PB︰PC = 1︰2︰3。證明∠APB=135o。
答 案
由於線段只有長度比，若整個圖形按比例放大縮小，長度比是一樣的，因此不妨設PA = 1，PB = 2和PC = 3。
把△APB沿B點旋轉90o至△CP'B，連結PP'。由∠CBP' =∠ABP，得知∠PBP' =90o。因此△PBP'為等腰直角三角形，所以∠BP'P=45o。
另外由畢氏定理得知PP'= [22+22=2 2] 。
再考慮△CPP'，由12+([2 2] )2=32，按畢氏定理的逆定理，得知∠CP'P=90o。
故此∠APB=∠CP'B=45o+90o=135o。
平常解含比例的題目，若果題目裡的資料，有比例亦有長度單位，未必可以用放大縮小的想法，把線段比變成實際長度的。要是題目裡的資料，在放大縮小之後仍然一樣，那樣就可以在調整比例的過程中，把數字故意弄得簡單一點。
這題裡若是沒有調整比例，長度上用上了k、2k和3k，做起來分別不大，但若果當中用上了代數的方法，比如要找些直線方程之類的，少一個未知數k，做起來就簡單多了。
調整比例的想法，一般在代數法時比較常用，尤其是用坐標幾何的時候。平常一道幾何的題目，用上了坐標，一般來說工具是夠強的，但代價是計算可以非常複雜。若是調整比例時做得好，把關鍵的長度變成了1個單位，少了未知數的情況下，可以大幅簡化運算。
另外，把圖形套上了坐標的時候，原點的位置和x軸與y軸的方向選取也很重要，選對了坐標，許多數字都能變得簡單。
題目裡的解法是用幾何的方法，而不是代數的方法，那樣可以從圖形的變換之間，較為直觀地看到結論。要是由角度的考慮之中用上了三角學，那樣當中的演算變化，是比較難以預料的，而且題目裡也沒什麼特別的角度資料。
或者，若是用上了坐標幾何，即使有了調整比例的想法，由於線段比的資料都是一些斜線，要是用上了距離公式，算式還是包含根式的，相當複雜。由三角學的方向和坐標幾何的方向作出比較之後，就覺得純幾何的想法，看來比較適合。
處理幾何題時，懂得選擇思考的方向，再配合調整比例，設置坐標等技巧，思想就豐富多了。做奧數題的時候，許多時嘗試的時候太早放棄，往往是懂的技巧太少，即使想嘗試得久一點，但腦海早已一片空白，不知道還可以再做些什麼。勉強去堅持得久一點，固然是毅力的表現，但苦得來效果也有限。平日多累積各樣的想法，就是未做到也欣賞一下別人的解法，也是豐富思想的好方法。 ■張志基
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