這次分享一道關於等腰直角三角形和扇形面積的問題，當中有些關於比例的技巧。
問 題：
如圖一，直角△ABC中，AC = BC，扇形ADEF以A點為圓心。已知兩陰影部分面積相等，求AD︰DB。
答 案：
設AB = x及AD = y。
留意到陰影部分面積相等，即直角△ABC和扇形ADEF面積相等。故此︰
[x2] [4] = [πy2] [8]
[x] [y] = [π] [2]
因此AD︰DB = y︰(x - y) = [2] ︰([π] - [2] )。
這裡先略略談一下題解當中那個[x2] [4]是怎樣一回事。平常一個等腰直角三角形，若是有底和高，就自然計得出面積，但要是有的資料是斜邊，就要繞點彎才計得出來，比如用畢氏定理求出直角邊那樣。不過有個想法是比較簡單的，就是把一個等腰直角三角形「分身」成為四個，然後拼成一個大正方形，邊長為x（圖二）。那樣就看得出原本的等腰直角三角形，面積是大正方形的四分之一。這個想法是比較直觀的，背景知識也較少。
題解中計出答案的比例時，用了一點技巧，就是把原本已知的x︰y = [π] ︰[2] ，到應用時，要求出AD︰DB，就變成計算y︰(x - y)，然後數字也跟着計算出[2] ︰([π] - [2] )，這裡需要對比例的運算比較熟悉才行。比如已知a︰b = 5︰2，那樣(a + b)︰(a - b) = (5 + 2)︰(5 - 2) = 7︰3，這些說明白了當然簡單，但學生自己計算時就很多轉折，比如又要設個k，說a = 5k和b = 2k，或者把a和b不斷移項，都是比較迂迴的做法。題解裡又有根式又有π，若不是用些比例技巧，運算起來都挺複雜。筆者自己做時也試過把DB設成d，然後計着計着就出了一元二次方程出來，系數還有2 - π之類，聽來就夠複雜，題解裡寫出來的，其實都是後來才想出來的。
奧數裡的知識基礎，其實只是比課程多一點點而已，主要難度都是在解題之上。學習方法和解難的心理素質，已經談過不少，雖然有用，但都太抽象了，解題還是要踏踏實實一題一題地算，才會明白深入的細節。很難說學了什麽定理，背得出來，也就說懂得。懂一條定理，也有層次的分別，可以是記得，或者是懂得應用，或者是可以跟別樣的定理定義綜合應用，或者是明白什麼時候應用起來才是對解題最有效，或者是怎樣由這個定理，引申出更深遠的結果，或其他更強的定理之類。
深入的想法，大概都是要具體一道題一道題地去體會，才會明白細節。數學的體會多了，也有時會着重一些學習方法，一些數學思想和比較抽象的事情，一時間或許會脫離了具體的解難，令到學習停滯不前。也或許會太着重一個又一個具體而特殊的問題，而看不清數學各部分的關係。大概每個人多少都有點偏向，有點自己容易有的毛病也是學習的一部分，重要的是學習多了，就要反省到自己會偏向犯什麼毛病。
一群人一起學習，有時看着別人有什麼毛病是容易的，自己要反省到自己的毛病，可能要按年按月的計，才找到了一些，有時別人提自己，自己還未必會相信。這也是學習的難處，早日知道也就好了。 ■張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校