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【奧數揭秘】直角三角形與扇形

2020-01-08

這次分享一道關於等腰直角三角形和扇形面積的問題,當中有些關於比例的技巧。

問 題:

如圖一,直角△ABC中,AC = BC,扇形ADEF以A點為圓心。已知兩陰影部分面積相等,求AD︰DB。

答 案:

設AB = x及AD = y。

留意到陰影部分面積相等,即直角△ABC和扇形ADEF面積相等。故此︰

[x2] [4] = [πy2] [8]

[x] [y] =  [π] [2] 

因此AD︰DB = y︰(x - y) = [2] ︰([π]  - [2] )。

這裡先略略談一下題解當中那個[x2] [4]是怎樣一回事。平常一個等腰直角三角形,若是有底和高,就自然計得出面積,但要是有的資料是斜邊,就要繞點彎才計得出來,比如用畢氏定理求出直角邊那樣。不過有個想法是比較簡單的,就是把一個等腰直角三角形「分身」成為四個,然後拼成一個大正方形,邊長為x(圖二)。那樣就看得出原本的等腰直角三角形,面積是大正方形的四分之一。這個想法是比較直觀的,背景知識也較少。

題解中計出答案的比例時,用了一點技巧,就是把原本已知的x︰y = [π] ︰[2] ,到應用時,要求出AD︰DB,就變成計算y︰(x - y),然後數字也跟茩p算出[2] ︰([π]  - [2] ),這裡需要對比例的運算比較熟悉才行。比如已知a︰b = 5︰2,那樣(a + b)︰(a - b) = (5 + 2)︰(5 - 2) = 7︰3,這些說明白了當然簡單,但學生自己計算時就很多轉折,比如又要設個k,說a = 5k和b = 2k,或者把a和b不斷移項,都是比較迂迴的做法。題解裡又有根式又有π,若不是用些比例技巧,運算起來都挺複雜。筆者自己做時也試過把DB設成d,然後計茩p荋N出了一元二次方程出來,系數還有2 - π之類,聽來就夠複雜,題解裡寫出來的,其實都是後來才想出來的。

奧數裡的知識基礎,其實只是比課程多一點點而已,主要難度都是在解題之上。學習方法和解難的心理素質,已經談過不少,雖然有用,但都太抽象了,解題還是要踏踏實實一題一題地算,才會明白深入的細節。很難說學了什洸w理,背得出來,也就說懂得。懂一條定理,也有層次的分別,可以是記得,或者是懂得應用,或者是可以跟別樣的定理定義綜合應用,或者是明白什麼時候應用起來才是對解題最有效,或者是怎樣由這個定理,引申出更深遠的結果,或其他更強的定理之類。

深入的想法,大概都是要具體一道題一道題地去體會,才會明白細節。數學的體會多了,也有時會茩咫@些學習方法,一些數學思想和比較抽象的事情,一時間或許會脫離了具體的解難,令到學習停滯不前。也或許會太茩咫@個又一個具體而特殊的問題,而看不清數學各部分的關係。大概每個人多少都有點偏向,有點自己容易有的毛病也是學習的一部分,重要的是學習多了,就要反省到自己會偏向犯什麼毛病。

一群人一起學習,有時看荍O人有什麼毛病是容易的,自己要反省到自己的毛病,可能要按年按月的計,才找到了一些,有時別人提自己,自己還未必會相信。這也是學習的難處,早日知道也就好了。 ■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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