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【奧數揭秘】限制條件中求極值

2020-10-15

這次分享一道在限制條件中求極值的問題,就是未知數在一定的關係之下,限制了大小,然後找與該未知數相關、另一函數的最大值或最小值的問題。當中的技巧用上了一些一元二次函數的技巧,比如配方法和函數圖像之類,基礎上屬於課內的高中課程,奧數則屬初中程度。

解題過程中,通過消去y2,令目標算式堨u留下未知數x,再經過配方法,得到最大值。要留意的重點,是配方之後得到的結果,不可以即時說是最大值。因為題目的條件中,有x2 + 2y2 = 1,使得x的範圍並非任意,只能是-1 ? x ? 1。故此若果x超出了這個範圍,則沒有對應的實數y符合限制條件。因此最後一步,檢查當目標算式為最大值時,是否有實數y與之對應,滿足限制條件,是必要的一步。

若果目標算式換了數字,是不是真的會有別樣的情況呢?這也試舉一個例子說明,比如要找P = 2y2 - 4x - 5的最大值,而限制條件一樣,代入

y2 = ,則有P = -x2 - 4x - 4 = -(x + 2)2,這樣看來當x = -2的時候,P = 0為最大值,但留意到這時候,限制條件(-2)2 + 2y2 = 1,得y2 = - ,可見y不是實數。即x = -2所對應的P = 0不能是最大值。這時候要求P的最大值,要看x的範圍-1 ? x ? 1堙A兩端的1和-1對應的P,由檢算可得知當x = -1時,P= -1為最大值。

這奡N可以看出,只要目標算式堛獐あr換一下,解題時就算都是用上了配方法,但細節上是有分別的,若果想答案時,欠缺了x範圍的考慮,數字改變一下時,就會錯了。

在題目堛滬郃豏囓韝U求目標函數的極值,這種題目很多,比如課程內就有線性規劃,通常中五中六左右才會學,那就是限制條件是幾道線性不等式,然後目標函數是線性函數的情形。

為什麼限制條件下求極值的問題有很多呢?因為在現實的情況堙A目標函數計出來的,有時是生產成本,有時是時間,而這些數字是跟產品各部分的限制有關的,比如生產時間不能太長,或者一些部分不能太多,這些變量的數量有限制,寫成算式時,就有了各樣的限制條件,想要求成本最小,或時間最短的話,那就成了一道限制條件下,求極大極小值的問題。這些限制和目標函數,化成算式時,有時是線性,可以用線性規劃,到了非線性的情況,又需要一些較強的工具。

在題目的情景堙A容易推想到,若果限制條件又多又複雜,目標函數也很複雜時,做起來是極困難的。 ■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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