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【奧數揭秘】全等三角形不容易

2018-02-07

初中學了幾年幾何,定理學了一大堆。「全等三角形」這個課題,大概是中一的內容,不少同學很早就懂,大概以為問題都很簡單,覺得是入門知識。若有天想開闊眼界,見識一下奧數程度的幾何題,或會有另一番體會。

問 題

在正方形ABCD中(圖一),M是AB的中點,MN⊥MD,∠CBN=45o。求證:DM=MN。

答 案

如圖二,在AD上取中點P,△MAP為等腰直角三角形,因此∠MPA=45O。

之後嘗試證明△MDP和△NMB全等,

由P和M皆為中點,得DP=MB。

考慮直線上的鄰角,得∠DPM=180O-45O=135O=90O+45O=∠MBN。

留意△ADM及M點周圍的直線上的鄰角,得∠PDM=180O-90O-∠DMA=∠NMB。

這樣就證實了△MDP和△NMB全等,△MDP?△NMB(ASA)。

由於MD和NM是上述全等三角形的相應邊,因此DM=MN。

自律沉實煉邏輯能力

這題在奧數的幾何問題上,算是較淺的,但仍可以見到解幾何題的難處。第一個問題是,要證明兩條線一樣長,不一定想到是用全等三角形的,尤其學的定理越多,好像懂得越多,但也由於多了選擇,未必選對合適的路徑。當然不這樣做也可能有別樣的解法,但知識多了反而找不對路徑,也是解幾何題目常見的難處。

第二個問題是,想起全等三角形,也未必是在圖形上已有的,可能要加輔助線,也可能不用,這個不是試過,也很難預知可不可行。

第三個問題是,有時圖形上即使有些三角形是全等的,連輔助線也不用加,但不代表自己就能留意到,因為圖形上只需要有七八條線,可能已經有不少三角形在其中,即使有兩個全等,不代表就一定留意到。

答案裡可以這洹硒N解完了,是因為直接在添加輔助線之後直下就指出了哪一對三角形全等,然後就加以證明。只是真自行解出來時,這一步想不出來,就已經行不下去。

要留意的是,這題還只是用了中一左右的幾何知識而已,若是圖形中還滲透了其他的知識,圖形再複雜一點,難度不止多了一點點。

中學時期,幾何能力要達到奧數水平,要很用心。事實上,即使是課程內的幾何題,要練到可以寫出一個邏輯通順的證明,已經須花一番功夫。同時,學習時,由於每題都可能要做十行八行,即使平日練習時有點漏洞,由於習題太多,老師就算很用心教學,也難以時刻幫自己找到錯誤。

因此自己要自律而沉實地煉好邏輯的能力,才可以在幾何上有較好的表現。就是邏輯能力都練好了,去到奧數水平,就會發現幾何能力不止是邏輯推論那回事,邏輯只是基礎而已,解難中還有些直覺的成分,有時也的確有運氣的成分。

說了很多難處,而事實上,也由於這點難處,使得奧數中的幾何題,值得見識。若缺乏這點見識,中學讀完了,應付得了課程內的幾何,很容易覺得幾何題目不外如是。難題使人謙卑,令人早日知道自己仍有發展空間,這個在學習上很重要。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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