兩個數之間比較大小，在數學裡是一個很基本的問題，不過若是數字的表達形式相當複雜，比較起來就難了。比如分數，小學時比較[4] [7]和[5] [9]，表面看來也不是一看就知，若是通分母，就知前者較大，或者是化小數也可以。不過若果分子分母的數多幾個位，那樣又會複雜許多，通分母也難很多。
問 題：試比較 [4567890] [5678901] 和 [4567891] [5678903] 的大小。
分析：留意兩數的分子和分母雖然相當複雜，但都類似，所以不妨設分子和分母為未知數，然後用上代數的層次來比較。
答案：
設x = 4567890，y = 5678901。留意右方的分子比左方的多1，分母則多2。
那麼兩數之差為[x] [y] - [x + 1] [y + 2] = [x(y + 2) - y(x + 1)] [y(y + 2)] = [2x - y] [y(y + 2)]，已知2x - y > 0，而分母y(y + 2)必大於0，因此左方的數較大。
剛才解題的關鍵，就是把數字當中比較複雜而又類似的部分，用代數表示，之後就用代數的層次來運算。這個想法是很常用的，在課內和課外的數學，都不時見到。不妨留意一下，文章開始時的[4] [7]和[5] [9]，其實也是右方的分子比左方的多1，分母則多2，這情況跟題目裡的情況一樣，相應的推論也同樣成立，也就是說，其實在代數的層次看來，兩次的比較道理一致。
這樣也看出了代數的好處，或者普遍一點說，較抽象的知識有什麽好處，就是會令人看到表面相差很遠的事物，在道理上是一樣的。數學知識的抽象，有不同的層次，一層一層的，會看到事理之間，是有相通相類的地方。
小學時學過的除法，例如20 ÷ 7 = 2...6，那樣被除數，除數，商與餘數之間，就可以寫成20 = 7 × 2 + 6。到了高中的階段，學了多項式除法，例如把x2 + 2x + 5除以x - 1，那樣就有x2 + 2x + 5 = (x + 1)(x + 3) + 8，商為x + 3，餘式為8。這裡整數和多項式之間，那個被除數和除數等關係，有相通相類的地方，可以有統一討論的空間，而事實上大學裡的代數，就會梳理好這些道理出來。
談到大學的代數是有點遠了，在中學階段，其實很少人可以掌握那些內容，原因一方面是網上雖然有不少教材，但未有師長介紹的話，自己找到適合的有點困難，另一方面是當中的抽象水平，對中學的優異生來說還是相當困難。
不過早點知道這些也是好的，始終網上的文章是有很多的，要找到好的普及文章或教材，若是有足夠恒心與毅力的話，也是可能的。這裡就難以說那麼多了，因為箇中道理相當精微，一千幾百字的文章，只能說些簡單的部分。
在中學階段，處理運算的時候，看到實數、複數、多項式與矩陣的運算，有相通的地方，是好的觀察，看到共通的地方之餘，亦同時要知道當中細微的分別，知道推論時結果可以相差很遠。比如實數與複數，數與數相除，仍各自是實數與複數，但多項式與多項式之間相除，就已經不是多項式了，或者是實數a與實數b，相乘得ab，那和ba是一樣的，但矩陣來說，若果A和B都是矩陣，又能相乘，那樣AB和BA則普遍不同。
讀數學時能把共通的部分歸納出一致的原理，又不至於把細節混淆，是一種良好的抽象思考能力，通過多角度的比較異同，會通與歸類之後，思考起來就會清晰而快捷很多，這個要自己練的，難是不難，但要有恒心才行。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校
