這次分享的是一道幾何定值問題，就是在一定條件下，一些點或線之類雖然未確定，但會令一些相關的長度或角度之類有個固定數值。這些問題由於當中的變數比較多，最後得出一個固定的數值時，會令人驚奇，也是題目之所以有吸引力的原因。以下的題解中用到圓心與弦的關係、恒等式和畢氏定理，前者是中四左右的內容，後兩者是中二左右的內容。
問題：如圖一，設點M在圖直徑AB之上，弦CD過點M與AB相交成45o，證明：CM2 + DM2為定值，跟M點的選取無關。
答案：如圖二，由圓心O向OC作垂直線，垂足為K，而且CK = KD。那樣CM = CK - MK，DM = CK + MK。
CM2 + DM2 = (CK - MK)2 + (CK + MK)2 = 2(CK2 + MK2)由△OKM的內角有90o和45o，得知這個是等腰直角三角形，因此MK = OK。
故此由畢氏定理得知，CM2 + DM2 = 2(CK2 + OK2) = 2CO2，而CO是圓的半徑，是一個固定數值，跟M的選取無關，故此CM2 + DM2是一個固定數值。
解題當中的關鍵是，是添加了輔助線OK，再配合恒等式與等腰三角形的特性，最後得出定值與半徑有關。解題的過程中，其實並不是早就知道輔助線有用，不過過程中發現K是CD的中點，用CK和MK表示CM和MD，好像比較易化簡，因為CM和MD本身沒什麽明顯的關係。之後同樣用上CK和MK表示，發覺展開化簡後的樣子挺簡潔，也剛好留意到△OKM是等腰直角三角形，也就發現應用畢氏定理後，可以得到定值的結論。
看過別人也另有一個解法，就是把CD對AB作鏡面反射，得C'D'（見圖三），然後得出CM2 + DM2 = C'M2 + DM2 = C'D2，再考慮到∠C'CD為固定數值，得到C'D為定值的結果，從而得知CM2 + DM2為固定數值。這些細節上就不寫出來了，讀者有興趣的話，也可以想想看。
解題時能一題多解，在學習上是好事，既豐富了自身的想法，也能用更多的角度去思考問題。學生平常在解題時找到一個解法，就當解完了，往往要做很多題，才可以有較明顯的進步。若果嘗試一題多解的做法，就會發現原本以為解完的題目，還可以發現更多的細節，那學習的質素就會提升。
不過，究竟是多題一解好，還是一題多解好，就要看學生的喜好。有些學生耐得住專注地思考一題多解，也有許多耐不住的，覺得解完了就成功了，無需多作思考，即使道理講明白了，知道好處，但人的耐性就是未發展到那個階段，耐不住專注許久，勉強做只會覺得悶，倒不如多題一解，他們還覺得多些新鮮感，動力會大些。
學數學時，有些學習方法在道理上是好的，但學生適不適用，還是要試才知道，有時方法本身有道理，但用着未必適合自己，效果也會差。始終學習的效果和興趣是一個整體，有人喜歡挑戰難度，有人喜歡循序漸進，有人喜歡多閱讀，有人喜歡多思考，有人喜歡一題多解，有人喜歡多題一解。學習就要多嘗試不同的方法，知道什麼適合自己，那才會學得比較有效率。 ■張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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