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【奧數揭秘】幾何定值問題

2019-11-20

這次分享的是一道幾何定值問題,就是在一定條件下,一些點或線之類雖然未確定,但會令一些相關的長度或角度之類有個固定數值。這些問題由於當中的變數比較多,最後得出一個固定的數值時,會令人驚奇,也是題目之所以有吸引力的原因。以下的題解中用到圓心與弦的關係、痤它〝M畢氏定理,前者是中四左右的內容,後兩者是中二左右的內容。

問題:如圖一,設點M在圖直徑AB之上,弦CD過點M與AB相交成45o,證明:CM2 + DM2為定值,跟M點的選取無關。

答案:如圖二,由圓心O向OC作垂直線,垂足為K,而且CK = KD。那樣CM = CK - MK,DM = CK + MK。

CM2 + DM2 = (CK - MK)2 + (CK + MK)2 = 2(CK2 + MK2)由△OKM的內角有90o和45o,得知這個是等腰直角三角形,因此MK = OK。

故此由畢氏定理得知,CM2 + DM2 = 2(CK2 + OK2) = 2CO2,而CO是圓的半徑,是一個固定數值,跟M的選取無關,故此CM2 + DM2是一個固定數值。

解題當中的關鍵是,是添加了輔助線OK,再配合痤它◆P等腰三角形的特性,最後得出定值與半徑有關。解題的過程中,其實並不是早就知道輔助線有用,不過過程中發現K是CD的中點,用CK和MK表示CM和MD,好像比較易化簡,因為CM和MD本身沒什洸顯的關係。之後同樣用上CK和MK表示,發覺展開化簡後的樣子挺簡潔,也剛好留意到△OKM是等腰直角三角形,也就發現應用畢氏定理後,可以得到定值的結論。

看過別人也另有一個解法,就是把CD對AB作鏡面反射,得C'D'(見圖三),然後得出CM2 + DM2 = C'M2 + DM2 = C'D2,再考慮到∠C'CD為固定數值,得到C'D為定值的結果,從而得知CM2 + DM2為固定數值。這些細節上就不寫出來了,讀者有興趣的話,也可以想想看。

解題時能一題多解,在學習上是好事,既豐富了自身的想法,也能用更多的角度去思考問題。學生平常在解題時找到一個解法,就當解完了,往往要做很多題,才可以有較明顯的進步。若果嘗試一題多解的做法,就會發現原本以為解完的題目,還可以發現更多的細節,那學習的質素就會提升。

不過,究竟是多題一解好,還是一題多解好,就要看學生的喜好。有些學生耐得住專注地思考一題多解,也有許多耐不住的,覺得解完了就成功了,無需多作思考,即使道理講明白了,知道好處,但人的耐性就是未發展到那個階段,耐不住專注許久,勉強做只會覺得悶,倒不如多題一解,他們還覺得多些新鮮感,動力會大些。

學數學時,有些學習方法在道理上是好的,但學生適不適用,還是要試才知道,有時方法本身有道理,但用茈憧移A合自己,效果也會差。始終學習的效果和興趣是一個整體,有人喜歡挑戰難度,有人喜歡循序漸進,有人喜歡多閱讀,有人喜歡多思考,有人喜歡一題多解,有人喜歡多題一解。學習就要多嘗試不同的方法,知道什麼適合自己,那才會學得比較有效率。 ■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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