這次談談一道關於整數的和與積的問題，也談談為什麼奧數裏看來只有很難的題目。
問題：求最小的自然數n，其中n > 1，使得存在整數a1，a2，...，an，滿足a1a2...an = a1 + a2 + ... + an = 1990。
答案：由於1990是2的倍數，而不是4的倍數，因此左邊的乘積裏只有一個雙數。另外，考慮和是雙數，而各數當中只有一個是雙數，因此單數有雙數個，即n為單數。
若n為3，嘗試分解1990 = 2 × 5 × 199，明顯情況不多，也沒可能。
若n為5，則有a1 = a2 = 1，a3 = a4 = -1和a5 = 1990。
故此n的最小值為5。
這些和與積的問題，看着就覺得需要的基礎知識都比較少，但提問的方式則比較陌生，比如加起來乘起來有什麼特性，初學時推論之間也不知從何入手。遇着整數的問題，有乘積有整數的結果，思考整除性和因數方面的資訊，也是好的開始方向，由單雙到各個因數的考慮，就算未能解決，也多少能得到一點資訊。
或者開始時未看到整除性，試算着那幾個數是怎樣，比如其中一個就試1990，其餘乘起來要積不變，不是1就是-1，但要取正數，因此準是要雙數個，而且和之中，1和-1要互相抵消，因此可以猜出正負1各要兩個，再配合1990，n可能是5，然後再看看n有沒有更小的可能。之後若留意到因數的資訊，可能一下子就會想通了。
這道題目看來令人覺得陌生，但又未至於難到需要思索太久，對初中階段或是初次接觸奧數的學生來說，是一道不錯的題目。
奧數在選拔和競賽的階段，問題都是最難的那些，比如平均一小時左右才做一道題目，做證明題，普遍題目變化都很大，需要很多創意。或者是另一些比賽類型的，要計算答案，求數字解的，也有許多難題。
若是在培訓的階段，問題就會淺白一點，多介紹一些常見而簡單的變化，為學生打穩基礎，再按導師的經驗，給予學生多一些思考的角度，或者改善一下學生解難的心態，面對嘗試與失敗時怎樣處理等等。這些淺白的培訓題目，在不少奧數的教科書裏都有，作者有不少都是代表隊的教練。
以中小學生來說，即使天資再好，各方面的能力都普遍未成熟，要許多啟發和引導。過早強調競賽級的難題，對學生未必有益。
中學奧數的形象，大概就是很難的題目，原因很簡單，因為人們初接觸奧數時，多數是由競賽開始。競賽網頁裏公開的題目，或是討論競賽題目的網頁或文章，談論的問題多是競賽級的。名氣較大的競賽，題目也是最難的一批，所以大眾容易有個印象，覺得奧數就是這些很難的題目。在坊間的書店裏，可能久不久才會有幾本寫得較完整又能切合大眾水平的培訓教材，這是多年來的現象。
筆者多年來經常去書店，所以才累積到各個層次的奧數書，加上在奧校教書時，接觸到各層級的教材，所以才剛好有點全面的認識。
由於這裏是一個奧數入門的專欄，所以題目都是選一些較淺白的。那些能做很難的競賽題的學生都不用介紹了，直接去做題目就可以了。■張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校
