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【奧數揭秘】巧算中的疑問

2020-09-09

初初接觸奧數的人,多數都是由巧算題開始,就是怎樣把平常的加減乘除計得快一點。當中的問題,固然是特別設計的,學習重點在於明白怎樣把巧算的技巧應用在平常的運算中。由初時學生未懂巧算技巧,到由特殊設計的問題中,理解到巧算技巧,再由日常在計算術時的觀察中,漸漸應用到各樣的巧算技巧,加快運算速度,這就是學習巧算的過程。這次介紹一道巧算題。

問 題:計算12 - 22 + 32 - ... - 19982 + 19992。

答 案:考慮痤它{2 - b2 ≡ (a + b)(a - b),

留意到-22 + 32 = 32 - 22 = (3 + 2)(3 - 2) = 2 + 3,

類似地有-42 + 52 = 4 + 5。

因此原式化為

1 + 2 + 3 + ... + 1998 + 1999 = = 1999000。

解題過程中,除了用到痤它﹛A也用上了1 + 2 + 3 + ... + n = 的求和公式,這個求和公式太出名,這奡N不詳述。不難發現,若果最右邊的項不是19992,而是再大一點的數,比如29992時候,只要順郘痤它〞熒Q法,改改數字還是做得到。

改數字看來容易,但若果改的不是最右項底下的數1999,而是改指數上的數字,那就會難起來,比如計算13 - 23 + 33 - ... - 19983 + 19993,題解堛綵痤它●N不管用了,因為各項都不是2次。跟題解2次的痤它&t不多的,也有3次的形式,比如a3 - b3 ≡ (a - b)(a2 + ab + b2)。只是這樣做下去,當中有些項比如-23 + 33 = (3 - 2)(32 + 3 ×2 + 22) = 22 + 2 × 3 + 32,看起來就不簡單。沿茬o個思路好像會挺多曲折,但其實也有辦法的,就是把算式化成13 + 23 + 33 + ... + 19993 - 2(23 + 43 + 63 + ... + 19983) = 13 + 23 + 33 + ... + 19993 - 16(13 + 23 + 33 + ... + 9993),然後再知道13 + 23 + 33 + ... + n3 = 就可以了。有興趣的讀者可以試做看看。

單是上文提到的公式已有兩條,那若是不懂什麼公式的話,要怎樣探索這道問題才好?老實說,不懂公式,也可以作為一個問題,繼續思考下去的,閒時在網上找找資料,或者找找書都可以,未必一定要答得很徹底,因為這個問題是自己提出來的,不是什麼功課,也不是什泵珚掑伔Z那回事,不會做不到就有什麼壞後果。

比如之前的問題,也有些沒常見公式的問法,例如把指數改成根號,即是怎樣計算[1]  - [2]  + [3]  - ... - [1998]  + [1999] ?這樣就未必很易計到準確值了,那就可以轉個問法,例如可以問它的範圍,大概在哪兩個連續整數之間。

這些問題看來有點難,只是也沒需要一朝一夕就懂,或者讀多了一點之後,知道的工具多了,又會有新的看法。閒時把舊的巧算題推廣一下,推廣到有些自己未答得出的問題,留在腦海堙A久不久思索一下,也是一種趣味。

求學的時候,平常把自己未能解決的問題記下來,閒來思考一下,是好的習慣。生活埵陶\多等待的時間,比如等車等人,腦海堥銋磥]可以思索茼U樣的事情,比如探索一下數學,那至少比閒茼h一個選擇。 ■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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