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■「在第一次世界大戰時，英國人Frederick W. Lanchester利用常微分方程建立了預測戰爭結局的數學模型。」
李向榮 香港理工大學應用數學系副教授
去年4月中旬，筆者在另一報章撰寫了《數學與通俗文化》一文，文中提及幾齣關於數學天才的美國電影。那些電影，以極為誇張的手法去塑造角色，即同時「神化」及「醜化」數學工作者，令人覺得「怪異」是成為數學天才的必然代價。最近，筆者卻發覺，有些熱心推廣數學的朋友，不自覺地「魔化」數學，極力把數學與歷史上最殘酷惡毒的東西扯在一起談，筆者所指的就是戰爭。
這些朋友並不是要歸咎數學，而是想闡明數學建模（Mathematical Modeling）的萬千可能，及想指出數學的應用層面既廣闊且源遠流長，不可忽視。可惜，戰爭本身的形象，始終是兇殘野蠻。以理性、客觀，及漂亮的數理分析，冷冷靜靜地應用在兇殘野蠻的行為上，更令恐怖的感覺加倍，令人驚懼人類的所謂進步文明只是美麗的謊言。
當然，筆者並不希望有人是藉「魔化」的形象來推廣數學的教育與普及。但若果他國都以數學來強兵，我們又豈能永遠讓數學穿上華麗禮服，置身在學術象牙塔內倖免於血腥？無論怎樣，戰爭與數學兩者，的確有著不可否定的關係。我們不妨參考以下幾個例子，看看兩者的瓜葛。
英二戰建最有效指揮系統
二次大戰時，英國受到德軍的空襲。雖然英國方面有了比較完善的雷達系統，但空軍兵力及數量卻未足夠。要以寡敵眾，必先盡量優化一切，把效率提升至極限，在雷達偵測到敵方入侵時，要即時計算出最佳的迎戰策略。於是，英國聚集賢能，建立了當時最有效的指揮作業系統，大大提升了空防能力。利用先進的算法來運算，可以令很多不明顯，甚至難以想像但實際上較優勝的戰略部署及作戰決策，快速地展示出來。英國人這個成功經驗，開創了應用數學一個重要的分支─Operations Research（運籌學，或有翻譯為「作業研究」）。劉邦稱讚張良用兵是「運籌帷幄，決勝千里之外」，以這來形容這門學問甚為合適。
最後，這門學問亦由戰場搬到大學裡去。又，行軍打仗必然要解決糧食及物料補給的問題，即所謂「三軍未動，糧草先行」。若果可以如《孫子兵法》中所說：「智將務食於敵」，當然是最好不過的了。但這個方法，未必可以適用於一般情況，例如遇上敵方採取焦土政策（Scorched Earth），或要提防敵人落毒，「務食於敵」便非常困難，所以少不免要安排長途補給。
然而，要解決物料供應，處理人手、運輸工具的編配等等，都牽涉大型系統的優化問題。這亦是現代應用數學中的物流（Logistic）及供應鏈管理（Supply Chain Management）所研究的課題，而兩者亦可以算是運籌學的分支。
用常微分預測戰爭結局
在第一次世界大戰時，英國人Frederick W. Lanchester利用常微分方程建立了預測戰爭結局的數學模型，包括正規戰爭及游擊戰爭模型。據說，美軍亦曾經以此模型來分析越戰，計算出來的結果是美軍不可能獲勝，要撤出越南。又，在1954年，麻省理工的Joseph H. Engel在學術期刊Operations Research發表了一篇學術論文，當中利用了Island of Iwo Jima（硫磺島）的戰役，驗證了Lanchester的理論。另外，英國數學家Lewis Fry Richardson，在1939年提出了軍備競賽的數學模型。他利用法俄協約與德奧同盟雙方軍事預算增加的情況來驗證其理論。而較為近代的，有Rufus Philip Isaacs在1965年出版的《Differential Games（微分對策）》一書，把控制理論推廣至連續動態的博弈問題，以應用在軍事對決上。
破解納粹密碼 盟軍早贏兩年
當然，通信的加密工作及特工竊聽的解碼工作，都要用上數論（Number Theory）的結果。二次大戰時，3位波蘭數學家Marian Adam Rejewski，Jerzy Witold Rozycki及Henryk Zygalski破解了德國納粹的Enigma密碼機。現在普遍認為，因為破解了Enigma密碼機，令盟軍在西歐的勝利至少提早了兩年。
著名的普魯士軍事家Carl von Clausewitz（克勞塞維茨）在他那本成名作《Vom Kriege（On War戰爭論，1832）》一書中提到：「拿破崙說得對，很多將領要下的決定，與值得牛頓、尤拉等垂青的數學問題沒兩樣（Bonaparte rightly said that many of the decisions faced by the commander-in-chief resemble mathematical problems worthy of the gifts of a Newton or an Euler）。」看來，數學老早就被「魔化」了。
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