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奧數揭秘:從通分母看靈活解題

2016-07-13

俗語有云:「條條大路通羅馬。」解答數學題又豈只得一種方法呢?有些情況,同學們運用標準方法已足夠順利得出結果;但有些情況,則要求同學們別出心裁的去找出較便捷的方法,考驗同學們能否從不同的角度去觀察事物。

問 題

讓我們看看下面的一道問題:

解題前先觀察所需提供的算式,不難發現以下兩點:

第一:a、b及c輪流交替出現,而且每個分式都有某種的對稱性;

第二:依題目所示,答案的數值應該不受a、b及c這3個數影響。換句話說,只要能夠找到3個符合條件abc=1的數,代入算式後就可以得到答案。

不過就算發現上述兩點,同學們通常都會先用標準方法,嘗試透過通分母將數式化簡,原式變成:

如果繼續把分子展開再化簡,過程會十分繁複,令人「怕怕」。

換個角度 善用3點

再仔細想想,能夠符合這個條件的,最簡單的方法莫過於設 a、b 及 c 這3個數為1,再代入算式,得出:

這方法是否很簡單呢?不過,這是特例,雖然都能夠找到答案,但略嫌取巧。這方法用來做多項選擇題或一些只要求答案的題目時非常好用。

如果要得出一般性的結果,我們就要加以利用下列3點:

第一:善用a、b及c這3個數的積為1的條件,即是當出現時,就將它化為1。

第二:通分母的精要在於令各分式的分母相同,但沒有硬性規定要同時考慮所有分式的分母,可嘗試把每個分式獨立處理。

第三:算式中的a、b及c輪流交替出現,把這個特性與第一點結合,或許大有用處。

把原式中的首兩個分式擴分,如下所示,但最後一個卻維持原狀。

得出:

由此可見,解一道數學題其實可以有不同的方法,但又不一定每種方法都可行。同學們,下次遇見不能用標準方法去解決的問題時,不妨多發揮創意,換個角度去看看題目、觀察算式,說不定你會找到一些有趣的解題方法呢! ■蔡欣榆

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