在市區過馬路，是日常生活的一部分，平日倒是習以為常的，也很少會想起什麽。若是要運貨之類的，市區的路也早已規劃好了，沿着路走就行。
若是一些郊外的地方，要把貨物由貨倉運去一個指定的地方，比如河的對岸，那麽途中河上那道橋的位置，就會很影響運輸的效率，這裡有個規劃的問題。
為了簡化問題，不妨設兩邊河岸是互相平行的。而造橋時為了節省材料，不妨假設橋都是垂直於河岸的，那樣就是兩邊河岸的最短距離（圖一）。
問 題
若是河的南邊有一個工廠A，要把貨物運往在河的北邊的貨倉B，要使得由A到B經過的路線最短，那麽橋EF的位置應該在河的什麽地方呢（圖二）？
解 答
路線的長度，用算式表示，就是AF+FE+EB。只是當中EF是固定的，求最短距離時暫不用考慮，即是只要求AF+EB的距離。
這兩條線段是斷開了的，要求加起來最短是不太容易。靠A多一點，或者靠B多一點，看來不太像樣。怎樣的「中間」，才可以做到最短呢？
這裡有個技巧，就是先把河的兩邊「壓扁」了，使E和F重合在一點F'。而B也沿着EF的方向，向河的南邊拉近了距離，去到另一點B'，使得BB'=EF。那麽題目中要找的最短距離AF=EB，即經變換後的距離AF'+F'B'。而F'的位置，就是橋的位置。
F'在什麽地方，會使AF'+F'B'最短呢？那就是直線AB'與代表河的直線的相交點（圖三）。這就是使得運輸總距離為最短的橋的位置。
小 結
上述的解題過程中，用到的技巧，是幾何變換中的「平移變換」。這個在中學課程內，往往只是一些畫圖的問題，比如在方格紙上，把一個正方形向右移四格之類的。
練習的目的，多數都是用來理解平移的含意，至於如何進一步把幾何變換應用在幾何解難之中，以至在一個較真實的情景之中，這個多是在奧數之中才比較常見。
幾何變換除了平移以外，常見的還有反射、旋轉和放大縮小。在剛才的問題裡，在平移之中，與BB'距離相等，顯示了平移變換中，相應點變換前後的距離相等的性質。
這點性質在日常裡，就是好像把一枝筆向垂直於筆桿的方向推動，那樣就知道筆尖移動的距離，跟筆蓋頂尖移動的距離一樣，是很平常的。只是數學化了，再推廣和應用一下，又能解決一些難題。
對於其他的幾何變換，各自都有其獨特的性質，應用起來也能導出一些不明顯的結果。 ■張志基
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