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【奧數揭秘】分蛋糕談代數對稱

2017-04-05

生日會中切蛋糕的時候,切起來有時並不是平均的,有些是大件一點,有些細件一點。若果蛋糕是圓形的,切開的方法就是平時切薄餅那樣由中間切起,那樣原來可以提出一些不定方程的問題。

比如有3個一樣大的蛋糕,一個可平分為x份,一個可平分為y份,一個可平分為6份。由3個蛋糕中各拿一份出來,前兩者合起來,剛好和後者一樣大,那洪和y分別可能是多少?

把問題數學化地描述,分為x份時,每份[1][x] ;分為y份時,每份[1][y] ;分為6份時,每份[1][6] ,因此算式為[1][x] [1][y] [1][6] [+][=]。其中由於x和y是多少份,所以都是正整數。

問 題

解不定方程:

其中x和y都是正整數。

答案

分數式一般都比較複雜,先用一點代數技巧把上式化簡。

[1][x] [1][y] [1][6] [+][=]

6x+6y=xy

xy-6x-6y=0

到這裡有個技巧,就是要加一點什活A令左邊可以做因式分解。

xy-6x-6y+36=36

(x-6)(y-6)=36

由於(x-6)和(y-6)都是整數,可以考慮36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6。

舉例來說,若

x-6=3

y-6=12

x=9,y=18

要留意x和y可以互換次序的,因此x=18,y=9也可以。為了表達得比較簡單,x和y可不分次序時,記為{x,y},那洛H上的解就是{7,42},{8,24},{9,18},{10,15},{12,12}。

「對稱性」可偵測錯誤

這道問題類似的形式,在奧數中是挺常見的,不過很少會用想到在切蛋糕的情景中出現,多是純粹地以數學形式來提問。

當中用到了較特殊的代數技巧,比如額外添加了36這個數字,令到等號左邊可以做因式分解。因式分解後再考慮36的各個分解的形式,去求出答案。

從代數式中,若是留意到x和y是可以互換的關係,計算時就可以做少一半。就是知道x是18和y是9時。同時,亦知道x可以是9和y可以是18。這個可互換的性質叫「對稱性」。

這個對稱性由代數的角度下固然能看得到,事實上由原來的情景中也會看得到,因為開始時決定哪個蛋糕是x,哪個是y,都是隨意的,先後沒有必然的限制。

在處理代數式前,先觀察它有沒有對稱性是有作用的,比如求解時最後的答案若果x與y互換就不符合算式,就會知道一定是什泵a方出錯了。或者是化簡算式時,原本是對稱的,化簡後就不對稱了,也是有問題的。因此對稱性是其中一個用來偵測錯誤的角度,可以廣泛應用在解題之中。

對稱性在課內的數學上比較少提及的,多是奧數才會提到。課內講對稱多是指圖形的軸對稱與旋轉對稱,較少用代數來講。本身對稱的概念並不複雜,但用起來卻會大幅減省了求解時的功夫,因為只要求到其中一個,就會找到對稱的另一個。若是問題再複雜一點,效果就更明顯了。

作為觀察代數式的一個角度,對稱性有蚍s泛應用,這個平日在處理算式時,可以多由這個角度檢查一下,看看有沒有新的發現。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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