奧數在學習的過程中，會發現有些知識並不止是一些數學上的技巧，亦不算是一些理論或者公式，而是一些思想方法。這個在課內比較少見，因為憑空說思想太抽象，總得要依着一些基礎。
然而，在課程內的數學，大部分時候，普遍學生能掌握基礎已經不錯，再提起思想方法之類的，有點困難。
解難之中有些思想方法是有用的，其中一個常用的就是極端原理。
問 題
在等邊三角形之中，任意取一點P，證明：由P到三邊的垂直距離之和為固定數值。
答 案
考慮極端情況，在等邊△ABC之中，P與A點重合，亦P點到三邊距離之和，就是三角形的高AD（圖一）。
設△ABC的邊長為a，P到三邊的垂直距離為r、s和t（圖二）。
考慮面積，得 [2] [1][ar+][2] [1][as+][2] [1][at=][2] [1][a．AD]
r+s+t=AD
因此P到三邊的垂直距離為固定數值。
可推廣命題 否定錯誤猜想
剛才這個證明中，第一步把P點當成了其中一個極端的情況，就是它與三角形其中一點重合的情況，這就是極端原理的使用。它的作用是能夠在完成證明之前，已經能夠洞察出這個固定的數值是什麼。
若果之前的證明看得仔細的，會發現其實即使不用極端原理，單考慮面積，也能夠證明到所需的結論。這固然是的，只是當考慮了極端原理後，原本看來長度不同的三段垂直距離，總和可以一下子在圖形的想像之中就洞察出來，比起純粹用面積考慮，然後一番運算才看出結果，快許多。
事實上，極端原理的使用，其中一方面的威力，就是能在考慮特殊情況之中，洞察出一些普遍情況的結果，然後進一步證明普遍的情況。這樣做證明的時候，方向感就大得多，不會因為情景太任意而變得不知所措。
除此以外，極端原理還可以在嘗試推廣命題的過程中，否定一些錯誤的猜想。比如若果問題之中的等邊三角形，變成等腰三角形，那麼命題是否成立？答案是否定的。
如圖三，用極端原理來考慮，若P點與A重合，則總和為AD；若P點與C點重合，則總和為CE，兩者明顯不同。
極端原理作為一種思想方法，用處可以很廣泛，能滲透入各式各樣的問題。不過也由於它可以四處都有，練習起來，題目的變化倒是挺大的，一題習題和第二題之間，好像沒什麼關係似的。奧數的問題，也不是說了「極端原理」4個字，就一定想得出來，所以練起來有困難，真個化入日常解難的思想之中，亦有不少難處。
不過由於用途普遍，雖然初學時覺得思想這回事有點太抽象，亦有舉步維艱的感覺，但學會了之後，效用卻是取之不盡，值得好好學習。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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