logo 首頁 > 文匯報 > 教育 > 正文

【奧數揭秘】分組組合有得計

2018-09-05

在學校裡各樣的活動,當人數眾多的時候,往往要分組。而分組之中,各式各樣的分組方式,當中隱藏了不少組合數學。若果分別看每一個問題,形式好像千變萬化,要是能夠有一些較統一的表達方式,就能夠在眾多問題之中,找到較一致的思路。以下分享的問題,先用簡單的方法討論一下,然後再談談表達方式的問題。

問 題

將10個人任意分成甲乙兩組,每組至少有1人,問有多少種不同的方法?

答 案

對於每個人,都可以選擇甲組或乙組,有2個選擇。因此10人就有210=1024個分組方式。然而,其中有部分情況,是全部人皆是甲組,或全部人皆是乙組,這樣的情況有2個。因此共有1024-2=1022個不同的方法。

以上的解題思路,是按茖C個人的選擇方式,配合乘法原理,然後剔除多餘情況,去完成解題的。

題目中只有兩種選擇的情景,有一種表達的方式是常見的,就是用二進制,比如用1代表在甲組,而0代表在乙組。平常的數字表達方式都是十進制的,也就是逢十進一,而二進制則是逢二進一。舉例來說,十進制之中,123=1×102+2×101+3×1,而二進制之中,1102=1×22+1×21+0×1=6,10102=1×23+0×22+1×21+0×1=10。若果好像題目中的情景,就可以考慮那10個人的分組情況,是一個10個位的2進制數,而每個數對應於一種分組方式,比如11111100002,就是首6人在甲組,而最後4人在乙組的情況。

在這樣的表示方式之下,很快就知道00000000002和11111111112之間,對應於210=1024種分組方式,也容易看到全部0和全部1的兩個情況要剔除,從而得知有1024-2=1022個分組的方法。

這題由於尚算簡單,有沒有化成二進制,效果並不大。不過一般而言,把情景中各樣的選擇,編號成為數字,然後數算數字出現的形式,是一種有用的思路。

始終組合數學的情景都是太千變萬化,化成數字去數,表達方式比較統一,比較容易發現不同題目之間可能有關係,也有機會可以配合數論的工具去計算。

試想想把以上問題再探索一下,比如問起分成3組又怎樣,或者乙組只有2人又怎樣之類的。若果每個人分別考慮,那麼情況開始會變得複雜,但用上二進制或三進制之類,有個良好的表達方式,寫出來清清楚楚看到各樣的情況,就較少會出現重複與遺漏的錯誤了。

課內的數學,關於二進制的討論,多是在中三的科學記數法那一課裡教的,不過怎樣應用,就較少提及。當然這次的用法只是其中一個,而奧數裡是有不少用上二進制的巧妙方法,是令人大開眼界的,值得去見識一下。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

逢星期三見報

讀文匯報PDF版面

新聞排行
圖集
視頻