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【奧數揭秘】三角形的中心

2019-03-06

提起三角形,除了談到角和邊之間的關係外,還會講到三角形的中心。例如重心,就是各頂點與對邊中點的連線的交點。這個是多少有點物理意義的,若是一塊三角形的鐵片,厚度是平均的,那麼把這塊鐵片的每隻角用繩吊起來時,繩的延長線都會穿過重心。另外提到的垂心、內心和外心,也各有意義。

這次分享的題目是關於三角形的垂心,原來垂足構成的三角形,其內心也跟原本的三角形有點關係。

問 題

在銳角△ABC中,三條高AD,BE和CF相交於H。證明:H為△DEF的內切圓圓心。

答 案

由∠HFB+∠HDB=90o+90o=180o,得知BDHF為圓內接四邊形。同理,得知DCEH亦是圓內接四邊形。

另外,∠HFB=∠HEC=90o,因此BCEF為圓內接四邊形。

由於同弧上的圓周角相等,所以∠HDF=∠HBF=∠HCE=∠HDE,即HD平分∠EDF。

因為對稱的關係,HE亦平分,而HF又平分∠EFD。

故此H為△DEF的內角平分線的交點,因此是內切圓圓心。

這道題目不只是一條數學題,而是有普遍性的,隨便一個銳角三角形,都有這樣的特性,說是定理也可以的。看茬o一題的答案,會發現三角形裡,連結幾條高線,當中的圓內接四邊形是很多的,平常學生很易看漏了,這也算是一點點做幾何題的經驗。

關於三角形的中心,課程內也提過重心、垂心、內心和外心。這些中心的相關知識,雖然久不久也會有題目問起,但不少同學對此印象較淺,不時都會忘記。

問起來時,可能一看到字眼,就已經不太知道它說什麼,也就無法作出什麼有效的推論,這也是可惜的。

三角形是不是只有這些中心呢?其實還有其他,比如旁心,即任意兩角的外角平分線,與第三個角的內角平分線的交點(見圖二)。不難發現,這樣的旁心是有三個的,圖裡只顯示了其中一個而已。旁心就沒怎樣在課程內提及了,不過在奧數裡也會提到。

再進一步問,三角形是不是還有其他中心呢?原來是多到不得了。根據數學網站Wolfram MathWorld的資料,有一位數學家,名叫Clark Kimberling,把三角形的許多個中心編了號碼,有成千上萬個的。他還有一個網站,叫Encyclopedia of Triangle Centers,就是三角形中心的百科全書,當中收錄了三角形各種意義下的中心。不過當中有許多詞語,都不是課程內的數學內容,要有點毅力和琱艄h不斷查證才會懂。這些網上資料,是筆者平常在網上看百科全書時閒來發現,又未至於逐一檢查過當中是否完全正確,讀者還是要謹慎地看。

課程內的數學,介紹了幾個三角形的中心,學點奧數,又會發現原來不只這樣,也算是有點新奇。不過再看看更大的數學世界,原來之前覺得已經有點新意的,只是其中一點皮毛而已。這也是求學路上的一點趣味。奧數豐富了課程內的想法,也令人增添了一點好奇心,去追求更廣闊的數學世界。這也是一點益處。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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