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【奧數揭秘】集合

2019-04-03

中學生看大學數學或奧數題目時的其中一個難題,就是經常看到很多符號,又經常談起「集合」,不太知道是什麼。集合是數學的基本概念,若是深入的數學書,都會用到這些概念。

集合是一些對象的全體,比如正整數1,2,3,...,就可以形成一個正整數集合,記為N。一個元素n在集合N之中,記為n?N,否則記為n?N。

集合的符號是大括號,括號內寫茼U個元素,或元素符合的條件,比如{2,4,6},或者是{x|x = 2n,n?N},後者意思為所有元素x皆是正雙數。一個集合A的部分元素所組成的集合B,稱為A的子集,記為B?A。常見的集合除了正整數集N,還有整數集Z,有理數集Q和實數集R。

以上簡介了常用的集合概念,懂了這些閱讀奧數題目,就會少了陌生感。當然集合還有更豐富的內容,而且個別符號在不同書本中的設定也略有出入,比如子集的符號,有時是?,有時是?,意思也可能略有分別,因此看書時要留意該書關於符號的定義是什麼。

以下分享一道用上了集合概念的奧數題目。

問 題

將正奇數集合{1,3,5,...}由小至大分組排列,按第n組有(2n-1)個奇數進行分組

{1}, {3,5,7}, {9,11,13,15,17},...

則1991位於第幾組中?

答 案

1991是第[1991+1] [2]=996個奇數。由於每一組順序有1,3,5,...個數,因此首n組共有1+3+5+...+(2n-1) = n2個數。由於312 < 996 < 322,故此1991在第32組。

看完這一題,不難發現即使沒有使用集合,問起來也沒什麼大分別,就只是把正奇數分組而已,沒需要那麼複雜。這是因為在這題中,集合語言的簡化功能沒有顯示出來。有時用文字表達很長篇的說法,用上了集合語言,就簡化很多,比如想討論「所有形如a2+1的正整數,其中a為正整數」,用集合表達,就是{x|x = a2+1,a?N},明顯後者的書寫速度快很多。

集合除了用括號的寫法,有時會用圖像,稱為文氏圖,多用來表示兩個集合的關係。比如有集合A和B,重疊部分則稱為A∩B,稱為A和B的交集(圖一)。而A和B兩集合所組成的元素集,則稱為A和B的聯集,記為A∪B。用上了圖像,對於幾個集合之間的關係,也就變得容易理解一點。

集合的概念,其實不單是講數學,還可以是人和物件,比如一班的同學,可以組成一個集合,或者是一堆水果,也可以組成一個集合。集合的用處之一,是可以釐清意思之間的隸屬關係,把字詞所包含的內容和層次表示出來,因此用途非常廣泛。

簡化用詞和釐清意思,固然是集合的好處,但亦要留意,數學裡談集合,並不止是把一堆對象拿在一起討論那麼簡單直觀。事實上,若果只是那樣看,就可以推論出自相矛盾的結果,稱為悖論。

集合論裡有羅素悖論,有興趣的讀者可以在網上了解一下。

在奧數裡,或者再深入地鑽研數學的話,集合的概念是避不開的,早日適應這些符號,對閱讀數學書和平日思考都大有用處。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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