中學生看大學數學或奧數題目時的其中一個難題，就是經常看到很多符號，又經常談起「集合」，不太知道是什麼。集合是數學的基本概念，若是深入的數學書，都會用到這些概念。
集合是一些對象的全體，比如正整數1，2，3，...，就可以形成一個正整數集合，記為N。一個元素n在集合N之中，記為n?N，否則記為n?N。
集合的符號是大括號，括號內寫着各個元素，或元素符合的條件，比如{2,4,6}，或者是{x|x = 2n,n?N}，後者意思為所有元素x皆是正雙數。一個集合A的部分元素所組成的集合B，稱為A的子集，記為B?A。常見的集合除了正整數集N，還有整數集Z，有理數集Q和實數集R。
以上簡介了常用的集合概念，懂了這些閱讀奧數題目，就會少了陌生感。當然集合還有更豐富的內容，而且個別符號在不同書本中的設定也略有出入，比如子集的符號，有時是?，有時是?，意思也可能略有分別，因此看書時要留意該書關於符號的定義是什麼。
以下分享一道用上了集合概念的奧數題目。
問 題
將正奇數集合{1,3,5,...}由小至大分組排列，按第n組有(2n-1)個奇數進行分組
{1}, {3,5,7}, {9,11,13,15,17},...
則1991位於第幾組中？
答 案
1991是第[1991+1] [2]=996個奇數。由於每一組順序有1，3，5，...個數，因此首n組共有1+3+5+...+(2n-1) = n2個數。由於312 < 996 < 322，故此1991在第32組。
看完這一題，不難發現即使沒有使用集合，問起來也沒什麼大分別，就只是把正奇數分組而已，沒需要那麼複雜。這是因為在這題中，集合語言的簡化功能沒有顯示出來。有時用文字表達很長篇的說法，用上了集合語言，就簡化很多，比如想討論「所有形如a2+1的正整數，其中a為正整數」，用集合表達，就是{x|x = a2+1,a?N}，明顯後者的書寫速度快很多。
集合除了用括號的寫法，有時會用圖像，稱為文氏圖，多用來表示兩個集合的關係。比如有集合A和B，重疊部分則稱為A∩B，稱為A和B的交集（圖一）。而A和B兩集合所組成的元素集，則稱為A和B的聯集，記為A∪B。用上了圖像，對於幾個集合之間的關係，也就變得容易理解一點。
集合的概念，其實不單是講數學，還可以是人和物件，比如一班的同學，可以組成一個集合，或者是一堆水果，也可以組成一個集合。集合的用處之一，是可以釐清意思之間的隸屬關係，把字詞所包含的內容和層次表示出來，因此用途非常廣泛。
簡化用詞和釐清意思，固然是集合的好處，但亦要留意，數學裡談集合，並不止是把一堆對象拿在一起討論那麼簡單直觀。事實上，若果只是那樣看，就可以推論出自相矛盾的結果，稱為悖論。
集合論裡有羅素悖論，有興趣的讀者可以在網上了解一下。
在奧數裡，或者再深入地鑽研數學的話，集合的概念是避不開的，早日適應這些符號，對閱讀數學書和平日思考都大有用處。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校
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