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【奧數揭秘】記低錯處 才有改善

2019-04-10

這次分享一道關於有理數的問題,然後談談學習方法。

問 題

證明任何正有理數均可寫成若干個有理數的平方之和。

答 案

設有理數為[p][q] ,其中p和q皆為正整數。那麼考慮[p][q] =pq×[1][q2] =[1][q2] +[1][q2] +...+[1][q2] ,則命題得證。

問題原本看來還真夠普遍,討論的是所有的正有理數,開始時我也覺得這怎麼可以,於是就試試一些具體數字。試[3][4] ,察覺到可以拆成[1][4] +[1][4] +[1][4] ,然後想到分母是平方數,那當然可以,又想到分母不是平方數又怎樣,就想到[2][3] ,那樣看來也難一點,不過想到了即使分母不是平方數,還是可以通過擴分,使分母化成平方數,即[6][9] =[[1][9] +[1][9] +...+[1][9] ] [6個]。之後也不難想到,對於普遍的情況,都可以有差不多的做法。

答案說出來當然很容易,做數時若沒頭緒,用一個特殊例子,想想怎樣做到,至少有一點點成功感。然後改改條件,看看怎樣推論一下,也至少有個起步點,未至於會束手無策。今次幸運地做到了,也不是次次都那麼幸運。不過就算做不到,找到一個較近似的結果,在學習上來說,也有進步。

在學生時代,未必分得清楚考試與平常學習的分別。考試的時候,若是只有答案分,那對錯就很清晰,錯一點也是錯,全題沒分數。不過在平常學習時,十步錯了一步,就只是錯一步,記茪U次不錯相同的事就行。有時錯的可能跟相關的課題無關,並非重點,只是運算上偶有失誤,這也難以完全避免,只需盡量控制到少於半成,影響未必很大,當然,若想將來在數理上發展,要求也可以高一點。

在平常的日子裡,學生記錄錯誤是重要的,溫習時就會明白要修正什麼,否則憑空說溫習,但不知道自己需要溫習什麼。

每個學生錯的地方都有分別,自己平日做的學習記錄,比起什麼教科書和筆記都重要,就算交學費也買不到。只有自己的學習記錄,才會明明白白地寫出自己曾經錯過什麼,方便之後溫習。

不過,學生有時會希望自己的筆記寫得整齊漂亮一點,就把錯誤都用塗改帶塗去了,只餘下正確的部分,那樣看來寫的都對,但溫習時就失了重點,效率就低了。重要的是在記錄時,分清楚正確與錯誤之間的關鍵在哪裡,明白要在思想上要修正什麼,才是有效的學習。

有時候學生在考試中失分,往往歸咎於「不小心」,但這點不小心,還是有程度的差別,若是多做記錄,多觀察自己的錯誤,不時可以找到線索,明白自己可以怎樣謹慎一點。

學奧數其中一個難處,就是部分學生對自己的思考很有要求,希望很快想到答案,也想省去了許多步驟,但偏偏題目許多時複雜到一個地步,即使全部想法都寫下來,也難免有錯,於是學生就對自己的集中能力要求過高,然後在不斷錯誤之中失去應有的自信。

學習時先學會寫步驟,在圖解和文字之中表達自己的想法,做好學習記錄,然後一步步省去多餘的部分,才是有效的學習。

相反,什麼都放在腦海裡運算,往往只能解決簡單的問題,在缺乏表達下,錯了也難以被老師修正,長遠來說才是低效率。 ■張志基

■香港數學奧林匹克學校

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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