吃飯時，想起食用的米，都是由農田裡長出來的，收成的時候，大概都要運到貨倉，然後一次過搬運到別處包裝販賣。當中有個運輸的問題，就是在不同的農田，集中到同一個貨倉的時候，那個貨倉要在什麽位置才會使到各處與貨倉的總距離最小。
若是那地方農田很多，問題倒是挺複雜的，為了簡單一點去理解，先考慮只有3塊農田的情況。
問題若是用圖像表示，就是如圖一所述，△ABC裡，有點D，要使得總距離DA+DB+DC最小，D應該在什麽地方。
這是一個已曾經被思考過的問題，D點就是在那個使得∠ADC、∠BDC和∠BDA都是120o的地方。那點稱為費馬點（Fermat Point）。
關於證明方面，若是比較普遍地說明，會過於數學化，有點難讀，篇幅也太長，以下就着一道幾何不等式的問題，作為一個特殊例子，帶出基本的思路。
有心詳細了解的讀者，可在網上找找「費馬點」的相關條目，定會得到更仔細的資料。
問 題
P為邊長為1的等邊三角形ABC內的一點，設L=PA+PB+PC，求證L>1.5。
答 案
證明的方法，是在BC以外作另一等邊三角形BCE，邊長同為1，如圖二。另外把P點以B點為中心，順時針旋轉60o，得點F。於是BP=BF，而∠PBF=60o，因此△PBF為等邊三角形，得PF=PB。
由BC=BE，∠CBP=60o-∠FBC=∠EBF及PB=FB，得△CPB?△EFB，從而PC=FE。
綜合以上所述，L=PA+PB+PC=AP+PF+FE。這是一條折線，若是有特殊的P使得點A、P、F和E成一直線，該L的長度即為最短。這是可能的，只需要取∠APB=120o及∠BPC=120o=∠EFB，即得APFE 4點連成一線，得L?AE= [3]＞1.5。
幾何變換開拓不等式思路
以上解題中，用到了旋轉的幾何變換技巧，從而令到題目中的不等式，有簡單的處理方法。
幾何不等式在奧數的課題中，是比較難的，在課程內的數學，差不多是見不到的。以上示範了如何用折線最短距離為直線的思路，去證明一道幾何不等式。
課程內的數學，處理幾何時多數都是等式，幾何不等式探索的則是各邊長度或面積相關代數式的大小關係。這比處理等式是難多了，因為一進入不等式的範疇，就有不少估算的技巧。簡化的方式，亦不止是等式裡的代數恒等變換。單是剛剛的問題裡，關鍵雖然只是作一次幾何變換，但想不出的話就很難用什麽既定的方法去做，比如嘗試用坐標幾何去處理，即使勉強做到，也繁複得很。
三角形的費馬點，在幾何極值問題上，是一個著名的問題。幾何裡著名的不等式是很多的，即使是初等的或是奧數程度的，都已經有不少漂亮的結果。
通過學習幾何不等式，可以開啟同學在處理幾何問題時，關於長度面積之類的大小比較的思路，加深對圖形的了解，從而可以多些角度去偵測錯誤，加強準確度和洞察力。這就是學習幾何不等式的其中一個意義。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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