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【奧數揭秘】穀米存倉用幾何

2017-01-25

吃飯時,想起食用的米,都是由農田裡長出來的,收成的時候,大概都要運到貨倉,然後一次過搬運到別處包裝販賣。當中有個運輸的問題,就是在不同的農田,集中到同一個貨倉的時候,那個貨倉要在什泵鼽m才會使到各處與貨倉的總距離最小。

若是那地方農田很多,問題倒是挺複雜的,為了簡單一點去理解,先考慮只有3塊農田的情況。

問題若是用圖像表示,就是如圖一所述,△ABC裡,有點D,要使得總距離DA+DB+DC最小,D應該在什泵a方。

這是一個已曾經被思考過的問題,D點就是在那個使得∠ADC、∠BDC和∠BDA都是120o的地方。那點稱為費馬點(Fermat Point)。

關於證明方面,若是比較普遍地說明,會過於數學化,有點難讀,篇幅也太長,以下就茪@道幾何不等式的問題,作為一個特殊例子,帶出基本的思路。

有心詳細了解的讀者,可在網上找找「費馬點」的相關條目,定會得到更仔細的資料。

問 題

P為邊長為1的等邊三角形ABC內的一點,設L=PA+PB+PC,求證L>1.5。

答 案

證明的方法,是在BC以外作另一等邊三角形BCE,邊長同為1,如圖二。另外把P點以B點為中心,順時針旋轉60o,得點F。於是BP=BF,而∠PBF=60o,因此△PBF為等邊三角形,得PF=PB。

由BC=BE,∠CBP=60o-∠FBC=∠EBF及PB=FB,得△CPB?△EFB,從而PC=FE。

綜合以上所述,L=PA+PB+PC=AP+PF+FE。這是一條折線,若是有特殊的P使得點A、P、F和E成一直線,該L的長度即為最短。這是可能的,只需要取∠APB=120o及∠BPC=120o=∠EFB,即得APFE 4點連成一線,得L?AE= [3]>1.5。

幾何變換開拓不等式思路

以上解題中,用到了旋轉的幾何變換技巧,從而令到題目中的不等式,有簡單的處理方法。

幾何不等式在奧數的課題中,是比較難的,在課程內的數學,差不多是見不到的。以上示範了如何用折線最短距離為直線的思路,去證明一道幾何不等式。

課程內的數學,處理幾何時多數都是等式,幾何不等式探索的則是各邊長度或面積相關代數式的大小關係。這比處理等式是難多了,因為一進入不等式的範疇,就有不少估算的技巧。簡化的方式,亦不止是等式裡的代數痤汀傽哄C單是剛剛的問題裡,關鍵雖然只是作一次幾何變換,但想不出的話就很難用什洵J定的方法去做,比如嘗試用坐標幾何去處理,即使勉強做到,也繁複得很。

三角形的費馬點,在幾何極值問題上,是一個著名的問題。幾何裡著名的不等式是很多的,即使是初等的或是奧數程度的,都已經有不少漂亮的結果。

通過學習幾何不等式,可以開啟同學在處理幾何問題時,關於長度面積之類的大小比較的思路,加深對圖形的了解,從而可以多些角度去偵測錯誤,加強準確度和洞察力。這就是學習幾何不等式的其中一個意義。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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