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【奧數揭秘】盛水問題談證明

2017-06-21

夏天的日子,天氣熱熱的,久不久開水龍頭洗個臉,挺舒服。現在有自來水真是方便得很,即使制水,不到半天又會回復了。有時候聽聞長輩講起幾十年前的香港,有大規模制水的時刻,那時酷熱天氣之下,一個個家庭主婦帶茪p孩,大桶小桶的拿荂A去盛水煮飯,好像是很遙遠的地方。

這次談水桶盛水的問題,比如有兩種水桶,一種5公升,一種3公升,若果盛水時只會盛到最滿,容量都是整數公升,是不是什洫e量都可以由5公升的水桶和3公升的水桶組合出來?比如23=5×4+3,就知道對於23公升的,只要4個5公升的桶和1個3公升的桶就可以了。

初步想來,不難發現容量太小是有些不可行的,最明顯的當然是1公升和2公升的情況。不過越數越大之後,漸漸會發現,可行的越來越多了。比如剛剛提到23公升的,一直試下去,都會是可行的。這中間好像有個關鍵的數字,過了之後就一直做得到。

把題目數學化地說,就是對於容量M,都可以寫成5x+3y,其中x和y都是非負整數。

問 題

證明對於M⩾14,M=5x+3y都有非負整數解。

答 案

若是一個個M去討論,固然可以幫助探索一下普遍的規律,但要做到還是要有系統地分析的。

以下嘗試將M用5的餘數做分類,下列的所有k都是非負整數,不再重複說明。

若M=5k,明顯成立。

若M=5k+1,M=5(k-1)+3×2。

若M=5k+2,M=5(k-2)+3×4。

若M=5k+3,M=5(k-3)+3×6。

若M=5k+4,M=5(k-1)+3×3。

理解推論思路 始明白作者鋪排

以上各情況,初步看來,好像什狩邞撤都可以寫成5x+3y的樣子,但當中還是有限制的,這個小心注意。要留意等號右邊的括號,全部都要是非負整數才行。比如M=5(k-3)+3×6之中,k至少是3。由這個做起點,得知若k=3,即M=5×3+3=18或之後的所有正整數M,都能寫成5x+3y的形式。

再進一步看看,就是對於k=2時,除了M=5k+3那一行不成立之外,其他都能成立,因此對於M=5×2+4=14或之後的所有正整數M,都能寫成5x+3y的樣子。這就完成了證明。

以上解題的段落中,看到了很多說明思路怎樣前進的句子,也不時有提到許多要注意的重點和關鍵之類。這個若是隨便拿本奧數書看,一個證明裡,有時只披露了那個步驟是怎樣發展,沒有加以說明那個想法是怎樣來的,這是常見的。

這正是閱讀數學證明其中一個難處,就是不理解別人為什炯o樣鋪排。這種不解在初學時是有點嚇怕人的,也多少令人止步的。

我看解決這困難的方法,就是先要求自己基本理解到證明中的邏輯推論是正確的,一直沿荍@者的思路走,至於為什炯o樣鋪排,可以在完整理解後才回顧,看看能不能解答。

好像剛才的題目,一開始時就5的餘數做分類,初初看來也許是不明所以的,但M的形式分類好了,卻成了解題的關鍵。先基本看完了證明,回頭看看就明白多了。

閱讀數學證明不時都會遇上一些作者的神來之筆,不少都是苦思冥想之中得來,不容易一眼看穿怎樣想出來的,直至有了全盤理解,才多少猜得出怎樣得出那個頭緒,也有看完了全部也只有讚嘆的份兒,至於怎樣想也是無法模仿的。

數學博大精深,奧數雖是小道,亦頗有奧妙之處,學習時需要很多謙卑才學得好。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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