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【奧數揭秘】談未知數代換

2017-07-05

天氣炎熱的日子,被太陽曬得發滾,若果一杯冷冷的水果沙律,給自己拿茞D快一下,感覺倒是爽得很。想起買水果,買的時候當然知道價錢,不過事後只記得自己花了多少錢,忘了每個水果價錢的話,那泵釣S有方法計出來?

比如陳太和周太各買了一些水果,陳太買了5個梨和4個蘋果,共29元;周太買了3個梨和2個蘋果,共18元。那樣設梨為x元,蘋果為y元,就得到以下方程組:

5x+3y=29 ...(1)

3x+2y=18 ...(2)

由(1)×2-(2)×3,可解得x=4,然後代入(1),可得y=3。

這個是中二程度的課內數學,奧數程度當然不止是這樣。

問 題

解方程組:

答 案

若是把等式左邊通分母加起來,出來的結果可以很煩的,有2次方。

留意方程組的各個數字,比較一下上邊買梨和蘋果的方程組,就會看到類似的東西。原來只要設[1][u+v] [x=]和[1][u-v] [y=],問題就跟之前的一樣,於是得[1][u+v] [=4]和[1][u-v] [=3]。整理後得如下方程組:

[1] [4][u+v=][...(3)][1] [3][u-v=][...(4)][{]

由[(3)+(4)][2] ,得[7] [24][u=]。

由[(3)-(4)][2] ,得[1] [24][v=-]。

接通其他代數技巧 增解難能力

以上的解難的關鍵,用到了代換的方法,即是把[1][u+v] 和[1][u-v] 整個兒當成了x和y。這個技巧和課內其實也有多少涉獵的,事實上較難的中二題目,也有代換的部分,只是多數是一道較長的題目的第二部分,而第一部分就好像上邊買水果的情景的那組方程差不多。奧數問題中,用到代換的時刻是很多的,而難處之一就是看不出要用代換,而且即使覺得用茈i能有幫助,也想不起把哪一堆當成是未知數好。

用代換的想法,可以延伸出很多問題的,比如買水果情景中的方程組,設x=a+b,y=ab,又會出了道看來複雜的難題:

5(a+b)+3ab=29

3(a+b)+2ab=18

這樣a+b=4,ab=3,可用一元二次方程,解出{a,b}={1,3},注意a和b可以互換。

現在說穿了技巧,看剛剛這一道題,也沒怎樣的。不過初初接觸的話,大概有不少學生都會做不來。

未知數的代換,一方面能夠把較複雜的問題,分拆成較簡單的表達形式,使計算變得簡便;另一方面,同時亦是出題的方法,使自己能夠在代換之中,接通其他代數技巧,增加自己解決問題的能力。良好的代換,對解難的效果,跟沒有做代換可以差別極大。

代換的原則,其實就是觀察到算式之中,有類似的部分,好像問題中的[1][u+v] ,在兩道算式中都出現,然後就聯想到把它當成一整個未知數x,是一個不錯的嘗試。

平常解難之中,若看到算式不同部分都有類似的項,也可以嘗試代換,這就要自己多觀察了。 ■張志基

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