logo 首頁 > 文匯報 > 教育 > 正文

【奧數揭秘】幾何中加輔助線

2017-12-20

中學時做幾何的題目,也就是關於圖形的那些,按蚚D目的條件,應用茤w理或者定義,不時也就能做到好些題目。若是嘗試做一些較難的幾何題目,比如奧數程度的,多數就沒那炮陽Q了。

其中一個難處,就是要添加輔助線,也就是畫出一條題目沒有的線,幫助推論。

這些輔助線怎樣加,是很難想出來的。固然課內的幾何題目,有時會出同類型的,每次的輔助線都是在差不多位置。

只是普遍來說,面對一道幾何問題,怎樣加輔助線,或者加不加輔助線,本身就已經是個大難題。巧妙地添加了適當的輔助線,可以對解題有神奇的效果。

問 題

在右圖中,ABCD是一個梯形,其中AD // BC。AE和BE分別平分∠DAB和∠ABC。

已知AD=2,BC=4,求AB。

答 案

單看題目,AD和BC與AB的長度,好像沒什洩蔣腕鰜Y似的。那些角平分的條件,都好像沒什洛帠B。不過若是加上一條輔助線,情況就大不同了。

在AB之上取一點F使得∠AFE=∠ADE,然後連起線段FE。

考慮△AFE和△ADE,AE為公共邊,∠AFE=∠ADE,由題目條件知∠EAF=∠EAD,得△AFE?△ADE(AAS)。

另外,考慮△EFB和△ECB,BE為公共邊,∠EBC=∠EBF,∠EFB=180o-∠AFE=180o-∠ADE=∠ECB,得△EFB?∠ECB(AAS)。

綜合兩組全等三角形的條件,得AB=AF+FB=AD+BC=2+4=6。

線可「加多錯多」 靠經驗判斷

解題的過程中,簡單來說,就是加了一條輔助線,然後就自動有兩組全等三角形,之後一下子就解完了。說起來是這炮陽Q,但要留意的是開始時F的位置,只是限制了∠AFE=∠ADE,這樣做是為了確保圖形上方有△AFE?△ADE(AAS)的結果。至於另外一邊的∠EFB是否與∠ECB相等,是需要推論出來的。

這一次當然是成功地發現了∠EFB真個與∠ECB相等,然後推出有另一組全等三角形,最後解決了問題,不過有時添加了輔助線,也沒那炮陽Q。

以上題目除了添加輔助線以外,知識都只是全等三角形和平行線的那些,課程內不過中一程度,如果圖形複雜一點點,或者解難過程中加了另一些位置的輔助線,思路轉了其他彎,就未必很順利解到了。

事實上,添加輔助線這回事,即使明知道要加線,但也可能加完之後,推論得很久,才發現行不通,要把之前的擦去重新畫過;加多了更麻煩,因為幾何圖形內的關係可以很多的,線段的長度和角度之間,可以有非常多的關係,多加一條線,關係又可以增加了一大堆,可以推來推去也推不到想要的結果。

若是講到添加輔助線有這泵h難處,又無跡可循,那洮蝻迉i以進步呢?

就筆者本身的經驗來看,還真是要在實在的解難中浸淫出來的。關鍵是要明白這不見得是可以有捷徑和可以速成的東西。就個人經驗來說,中學時解幾何題,解不了,看茧狙袨N覺得加了輔助線效果很神奇,又不知道怎樣加的。

後來做多了,自己也會無緣無故懂得加一些特別的輔助線,然後解到了一些題目,至於為什炯o樣加,自己有時也說不出來。就學習幾何的經驗來說,經常都覺得進步是不明顯的,往往是下過一段時間的功夫,然後才會在一些題目裡反映出進步來。

幾何難,加輔助線是其中一個大的難題,即使做了多年,進步了的可能只是一些難以言傳的想法、一點點學習方法,以及加錯線之後少了一分挫敗感。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

逢星期三見報

讀文匯報PDF版面

新聞排行
圖集
視頻