中學時做幾何的題目，也就是關於圖形的那些，按着題目的條件，應用着定理或者定義，不時也就能做到好些題目。若是嘗試做一些較難的幾何題目，比如奧數程度的，多數就沒那麽順利了。
其中一個難處，就是要添加輔助線，也就是畫出一條題目沒有的線，幫助推論。
這些輔助線怎樣加，是很難想出來的。固然課內的幾何題目，有時會出同類型的，每次的輔助線都是在差不多位置。
只是普遍來說，面對一道幾何問題，怎樣加輔助線，或者加不加輔助線，本身就已經是個大難題。巧妙地添加了適當的輔助線，可以對解題有神奇的效果。
問 題
在右圖中，ABCD是一個梯形，其中AD // BC。AE和BE分別平分∠DAB和∠ABC。
已知AD=2，BC=4，求AB。
答 案
單看題目，AD和BC與AB的長度，好像沒什麽直接關係似的。那些角平分的條件，都好像沒什麽用處。不過若是加上一條輔助線，情況就大不同了。
在AB之上取一點F使得∠AFE=∠ADE，然後連起線段FE。
考慮△AFE和△ADE，AE為公共邊，∠AFE=∠ADE，由題目條件知∠EAF=∠EAD，得△AFE?△ADE（AAS）。
另外，考慮△EFB和△ECB，BE為公共邊，∠EBC=∠EBF，∠EFB=180o-∠AFE=180o-∠ADE=∠ECB，得△EFB?∠ECB（AAS）。
綜合兩組全等三角形的條件，得AB=AF+FB=AD+BC=2+4=6。
線可「加多錯多」 靠經驗判斷
解題的過程中，簡單來說，就是加了一條輔助線，然後就自動有兩組全等三角形，之後一下子就解完了。說起來是這麽順利，但要留意的是開始時F的位置，只是限制了∠AFE=∠ADE，這樣做是為了確保圖形上方有△AFE?△ADE（AAS）的結果。至於另外一邊的∠EFB是否與∠ECB相等，是需要推論出來的。
這一次當然是成功地發現了∠EFB真個與∠ECB相等，然後推出有另一組全等三角形，最後解決了問題，不過有時添加了輔助線，也沒那麽順利。
以上題目除了添加輔助線以外，知識都只是全等三角形和平行線的那些，課程內不過中一程度，如果圖形複雜一點點，或者解難過程中加了另一些位置的輔助線，思路轉了其他彎，就未必很順利解到了。
事實上，添加輔助線這回事，即使明知道要加線，但也可能加完之後，推論得很久，才發現行不通，要把之前的擦去重新畫過；加多了更麻煩，因為幾何圖形內的關係可以很多的，線段的長度和角度之間，可以有非常多的關係，多加一條線，關係又可以增加了一大堆，可以推來推去也推不到想要的結果。
若是講到添加輔助線有這麽多難處，又無跡可循，那麽怎樣可以進步呢？
就筆者本身的經驗來看，還真是要在實在的解難中浸淫出來的。關鍵是要明白這不見得是可以有捷徑和可以速成的東西。就個人經驗來說，中學時解幾何題，解不了，看着答案就覺得加了輔助線效果很神奇，又不知道怎樣加的。
後來做多了，自己也會無緣無故懂得加一些特別的輔助線，然後解到了一些題目，至於為什麽這樣加，自己有時也說不出來。就學習幾何的經驗來說，經常都覺得進步是不明顯的，往往是下過一段時間的功夫，然後才會在一些題目裡反映出進步來。
幾何難，加輔助線是其中一個大的難題，即使做了多年，進步了的可能只是一些難以言傳的想法、一點點學習方法，以及加錯線之後少了一分挫敗感。 ■張志基
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