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【奧數揭秘】無理數的次方

2018-01-03

關於數的分類,由小學開始學自然數,然後講分數和小數,到了中二左右,就會談到有理數和無理數。有理數就是可以表示成分數形式的數,其中分子和分母都是整數,然分母非零,例如[3=] [1][3],[0.8=] [5][4],[0.3.=] [3][1]等等,都是有理數。一般而言,整數,有限小數和循環小數都是有理數。若是無法化成分數形式的數,稱為無理數。

在初中的階段,關於無理數的了解其實是很少的,通常是知道一些相關的事實,比如[2] 是無理數,或者普遍一點的是化簡後仍有根式的數就是無理數。在教科書中也可能多少講過π是無理數。至於這些數為什洵O無理數,學生未必懂得證明。關於[2] 為什洵O無理數的證明,網上是很易找的,這裡也不需用篇幅去談。而π是無理數的證明,網上也有不少,多是需要一定的數學基礎才能夠理解。

無理數的運算,有時候中學生是有點陌生的,比如問,無理數與無理數相加減,是不是無理數?相乘除又怎樣?次方又怎樣?關於相加減是容易的,比如(1+[2] )+(1- [2] )=2,就知兩個無理數相加可以是有理數,相減方面也就差不多道理。

相乘就明顯了,比如[2] ×[2] =2,就知兩個無理數相乘可以是有理數,相除方面也是易知有[2]  [2] =1。至於次方,比如[2] [2] 是有理數還是無理數呢?這個難了,而且還不是普通的難,至少難到這裡說不了的。

那為h一步,問一問,有沒有一些無理數的無理數次方,會是有理數呢?

問 題

證明存在無理數的無理數次方為有理數。

答 案

考慮[2] 這個無理數,若[2] [2] 為有理數,則命題得證。否則[2] [2] 為無理數,那架([2] [2] )][2] =[2] [2] =2為有理數。因此命題得證。

證存在複雜 與常例不同

這個證明其中一個有趣的地方,是繞過了討論[2] [2] 是否無理數的問題,而又借助了它去完成證明。問題中的結論,還真是很不明顯的,因為根式之類的東西,已經夠複雜了,還要指數為根式。不過輾轉之間竟然有個有理數的結果,這也是有點峰迴路轉。

問題中的證明,只是要證明存在有理數ab,其中a和b都是無理數。而這個存在的證明,並沒有要求去構造出這個數是怎狩芊C在這問題的證明之中,若是直接把一個數構造出來,然後證明它是有理數,那炯o個證明是一個構造性的證明。

而這次的證明,是一個非構造性的證明。也就是說,無法在證明的過程之中,找到一個實際的有理數ab,其中a和b都是無理數。題目的證明之中,結果只能推出存在這種數,而無法知道任何一個。

這種存在性的證明有趣的地方,就在於它跟日常生活講一件事物存在,是不同的。

平常講一件事物存在,其中一個意思就是多少見過它的樣子,比如說一隻狗存在,就是因為見過一隻狗:只是這個證明之中,除了知道這種數存在,卻是連舉個例也要另外再思考的。這裡得見數學抽象的一面。

數學的存在性證明可以很精彩,從以上關於無理數的次方問題可見一斑。 ■張志基

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