關於數的分類，由小學開始學自然數，然後講分數和小數，到了中二左右，就會談到有理數和無理數。有理數就是可以表示成分數形式的數，其中分子和分母都是整數，然分母非零，例如[3=] [1][3]，[0.8=] [5][4]，[0.3.=] [3][1]等等，都是有理數。一般而言，整數，有限小數和循環小數都是有理數。若是無法化成分數形式的數，稱為無理數。
在初中的階段，關於無理數的了解其實是很少的，通常是知道一些相關的事實，比如[2] 是無理數，或者普遍一點的是化簡後仍有根式的數就是無理數。在教科書中也可能多少講過π是無理數。至於這些數為什麽是無理數，學生未必懂得證明。關於[2] 為什麽是無理數的證明，網上是很易找的，這裡也不需用篇幅去談。而π是無理數的證明，網上也有不少，多是需要一定的數學基礎才能夠理解。
無理數的運算，有時候中學生是有點陌生的，比如問，無理數與無理數相加減，是不是無理數？相乘除又怎樣？次方又怎樣？關於相加減是容易的，比如(1+[2] )+(1- [2] )=2，就知兩個無理數相加可以是有理數，相減方面也就差不多道理。
相乘就明顯了，比如[2] ×[2] =2，就知兩個無理數相乘可以是有理數，相除方面也是易知有[2] [2] =1。至於次方，比如[2] [2] 是有理數還是無理數呢？這個難了，而且還不是普通的難，至少難到這裡說不了的。
那麽退一步，問一問，有沒有一些無理數的無理數次方，會是有理數呢？
問 題
證明存在無理數的無理數次方為有理數。
答 案
考慮[2] 這個無理數，若[2] [2] 為有理數，則命題得證。否則[2] [2] 為無理數，那麽[([2] [2] )][2] =[2] [2] =2為有理數。因此命題得證。
證存在複雜 與常例不同
這個證明其中一個有趣的地方，是繞過了討論[2] [2] 是否無理數的問題，而又借助了它去完成證明。問題中的結論，還真是很不明顯的，因為根式之類的東西，已經夠複雜了，還要指數為根式。不過輾轉之間竟然有個有理數的結果，這也是有點峰迴路轉。
問題中的證明，只是要證明存在有理數ab，其中a和b都是無理數。而這個存在的證明，並沒有要求去構造出這個數是怎麽樣。在這問題的證明之中，若是直接把一個數構造出來，然後證明它是有理數，那麽這個證明是一個構造性的證明。
而這次的證明，是一個非構造性的證明。也就是說，無法在證明的過程之中，找到一個實際的有理數ab，其中a和b都是無理數。題目的證明之中，結果只能推出存在這種數，而無法知道任何一個。
這種存在性的證明有趣的地方，就在於它跟日常生活講一件事物存在，是不同的。
平常講一件事物存在，其中一個意思就是多少見過它的樣子，比如說一隻狗存在，就是因為見過一隻狗：只是這個證明之中，除了知道這種數存在，卻是連舉個例也要另外再思考的。這裡得見數學抽象的一面。
數學的存在性證明可以很精彩，從以上關於無理數的次方問題可見一斑。 ■張志基
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