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【奧數揭秘】一看就知答案 因老師有備課

2019-05-22

近來看書,看到一道題目的情景挺常見,也就分享一下。

問 題

在直角三角形中,c是斜邊的長度,a和b是兩條直角邊的長度,而d是內切圓的直徑。求證:a + b = c + d。

答 案

如圖一,設內切圓半徑為r,則d = 2r。

由直角三角形和圓切線的性質得知,EFCH為正方形,得CF = CH = r。AG = AF = b - r,BG = BH = a - r。

故此c = (a - r) + (b - r),得a + b = c + 2r ,即a + b = c + d。

這個結果看通了是挺簡單的,不過簡單之餘,情景也很常見,就是講直角三角形的邊和內切圓直徑而已。答案寫出來是簡短的,不過筆者想羖、b、c和d,也想到了其他關係,比如面積的關係。如果考慮整個三角形的面積,一方面是[ab] [2],另一方面,視三邊為底,半徑為高,則面積為[ar] [2]+[br] [2]+[cr] [2],因此有[ar] [2]+[br] [2]+[cr] [2]=[ab] [2],化簡為(a + b + c) r = ab,看茪]是有點新奇和相當簡潔的。

只是後來想起,面積的單位是二次方的,比如平方厘米和平方米之類,而題目的算式,那些a和b之類的,單位都只是一次方的,沒有見到兩個長度相乘的項,因此就沿茠曮蛌漱閬V想,而放下了面積的想法。後來留意到圓切線的性質,不一會就做到了。

解題的時候,學多了知識,能看到的結果也多了,繞的彎也可能多點,未必一下子就想到題目要求的結果。教學時一下子就寫得出來,其實只是因為教學前要備課,也就是教之前知道答案而已,而不是即場做出來。

奧數的題目,即使解題一段時間之後,最終做到,也不見得可以是一下子就看得通一個極快的做法。課程內的數學題,在經驗足夠豐富之後,有部分可以很快看得出做法,是因為變化比較少,而且通常有些不太複雜的解法。

有時學生解題,把題目思考了很久,看茼悎v一下子就解了出來,覺得老師厲害得很,好像特別聰明。老實說,我自己解奧數題目,固然有相當的能力,但也不見得每一題都可以即場就很快解得到。當然,要教書的時候,備課總是會做好,也會思考怎樣解得簡短易明一點,於是講解起來,學生聽茤白,但可能會有個誤會,以為是老師真是一看就知答案那樣。

這點美麗的誤會,當然也會令我看來英明一點,但事實上解題是離不開踏實的探索,也有苦惱和困惑的時候,這才是解難的實情。不過這當然是個人經驗,其他人怎樣就不知道了。

分享一點解難的苦惱,繞過的彎,嘗試過的錯誤,在我看來是好的,那樣的分享是會多了一分誠實。求學想踏實一點,對自己誠實,少一點自欺欺人,是一件好事來。■張志基

■香港數學奧林匹克學校

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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