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【奧數揭秘】塞瓦定理

2019-06-05

中學幾何裡,有些定理是奧數裡會談到,但課程內沒有的,比如以下的塞瓦定理。

塞瓦定理:如圖一,設O為△ABC內任意一點,AO,BO及CO分別交對邊於N、P及M,則

[AM] [MB].[BN] [NC].[CP] [PA]= 1

簡言之就是一個三角形裡,若是以三個頂點向對邊連線的話,若果三線共點,那樣由其中一個頂點開始,沿茤P界繞一圈,那6條小線段是有一些比例的關係。

這條定理在奧數裡是挺出名的,事實上,雖然課程內不會提到,但部分的教科書裡,也會在一些附錄部分談到。證明方面,在網上也是容易找到的,就不在這裡詳述了。

出名的原因很易理解,因為它是一個普遍的三角形內的線段比的關係,背景只需要是一個三角形及內部其中一點就行,情景很常見,很易知道它應用範圍很廣泛。

以下分享一道關於塞瓦定理的問題。

問 題

在圖二中,△ABC裡,D是BC的中點。AD交BG於F,延長CF交AB於E。求證:EG // BC。

答 案

以下先嘗試證明△AEG ~ △ABC,方向是證明兩組對應邊比例一樣,而且夾角相等。

已知AD、BG與CE相交於F,由塞瓦定理得知[AE] [EB].[BD] [DC].[CG] [GA]=1。因D為中點,即[BD] [DC]=1。

故此[CG] [GA]=[EB] [AE]。若等號兩邊加上1,則求得[CA] [GA]=[BA] [EA],即得到兩組對應邊比例一樣的結果。

由於∠A為公共角,因此△AEG ~ △ABC。

因為△AEG ~ △ABC,所以∠AEG = ∠ABC,故此EG // BC。

解題的關鍵,大概都是預見到△AEG和△ABC有相似關係,然後由相似關係可得出平行線的條件。

解幾何題的時候,初時會按荋X條定理,做一些較直接的應用,務求驗證自己的理解是否正確。然後在逐漸複雜的情景中,定理的應用就變得多元化一點,也開始有些奇特的用法。解多了,基本的題型也就有了基礎,然後就可以談解題策略。

比如剛才談到三角形相似的關係,在初學時,往往是逐個原因寫出來,去說明三角形如何相似。到了知道如何證明相似之後,在策略的層次上看來,就只需要說出想證明的那兩個三角形,就指出了思路。當然,在考試或比賽時難免還是要寫上細節,但思考和溝通的時候,談策略而忽略細節,就可以加快速度。

較有解題經驗的人,在解幾何題時,思考是一個一個策略地發展,而不是一行接一行,好像寫書那樣的。

當然每個策略要詳細寫出細節,還是做得到的,但思想上是一堆關係接茪@堆關係,整個策略只有方向性,而不是那麼多具體細節。

當然,若果還在初學階段,多在書寫細節之中,培養出結實的基礎,是好的,否則談策略就真個空泛了。要是在大量解難經驗之後,知道基礎已經夠穩固,那樣在策略的層次上思考,就有益得多了。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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