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【奧數揭秘】四邊形的覆蓋問題

2019-07-03

四邊形這東西,從小學到中學,還真是提過不少次。小學就學習什麼叫正方形、長方形、平行四邊形、梯形之類,談談它們的性質有什麼異同。中學時就再了解多一點它們的性質,比如平行四邊形的對角線會互相平分,或者是怎樣證明一個四邊形是平行四邊形之類。

這次談談一個關於四邊形的覆蓋問題。覆蓋就是用一些其他的圖形蓋茬o個四邊形的意思。課程內的數學,較少談及圖形覆蓋的問題,原因大概是因為問題挺困難,解題的方法變化很大。奧數裡就有覆蓋問題,可以從中鍛煉到綜合應用數學知識的能力。這一題的知識基礎,需要知道半圓上的圓周角是90o。(圖一)

問 題

以四邊形的四邊為直徑,在四邊形所在一側分別作四個半圓,求證:這四個半圓能覆蓋整個四邊形。(如圖二)

答 案

考慮四邊形ABCD內任意一點P,則∠APB、∠BPC、∠CPD及∠DPA之和為360o。因此其中最大的一角(設為∠APB)必大於或等於90o,即點P在AB為直徑的半圓內。

看完這個答案,可能也會覺得挺簡短的,但那個思考方向又不一定想得出來,比如筆者做題的時候,會想起會不會找找任意一點與四個圓心的距離,推理幾下就推得到,後來發覺也是不太順利的。後來看看答案,發覺要用角度來想,也覺得這主意挺好的。

做奧數題目,做到固然是好的,做不到也就欣賞一下別人的解法,也是有樂趣的。想練一下毅力,也就做得久一點,想輕鬆點見識一下,也就想到沒什麼主意時,就看一點提示,或者純粹看看例題和答案,也是一種學習方法。認真一點就可以練得強一點,輕鬆一點就有助培養興趣,視乎看書時的狀態再作調整,就能找到趣味之餘,又多少練到一點實力。

不過,初中去到中三左右,若是奧數的程度,解題的耐力最好可以去到30分鐘至45分鐘,若是高中程度,耐力最好去到1小時至2小時。這當然是以較好的水平來說。總體來說,見識多點,興趣大一點,想法夠多了,嘗試解題時的思路比較豐富,也就可以試得久一點,未至於很快就想到一片空白。

學生快要放暑假了,有時間的話,也可以找些奧數書讀一讀。現在的奧數書算是比較易找,網上也有不少教材,或者在網上書店買書,也可以在電話上的應用程式看。讀數學書的經歷是好的,因為比較難讀,能練到毅力和理解力。數學書裡句與句之間,連繫是極嚴密的,閱讀時需要很集中精神才行。

雖然說讀數學書有困難,但進度是自己設定的,精神一點就看深入一點,想輕鬆一點也就看些之前看過的,重溫一下也好。懂得讀數學書,也會令到自己的閱讀能力增強不少,讀其他書的時候,也會覺得易讀了、心得多了,長遠對自己的發展更好。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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