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【奧數揭秘】續方程中的變化

2020-01-15

解方程是學數學的重要一環,一元二次方程是高中的重要課題,若變化複雜一點,通常已經是進階的內容,大概會在中五「續方程」那一課才出現。不過,初中的奧數也會出現類似的內容,而變化又會再大一點。以下分享的題目,就是其中一題。

問 題:解方程(6x + 7)2(3x + 4)(x + 1) = 6。

答 案:留意到3x + 4 = [6x + 8][2] 及x + 1 = [6x + 6][6]  ,兩者分子都與6x + 7類似,因此設y = 6x + 7,則原式變成︰

y2([y + 1][2] )([y - 1][6] ) = 6

y4 - y2 - 72 = 0

(y2 - 9)(y2 + 8) = 0

y = ±3

解得x = -[2][3]  或 -[5][3] 。

初看題目的時候,可以想像得到,若果直接展開會相當複雜,足有四次方,試過用計算機展開看看,展項移項後原來是108x4 + 504x3 + 879x2 +679x + 190 = 0。若是學生望茬o道算式,大概已經打消了能解決的念頭。

解題的關鍵,就在於觀察到等式左邊三個括號內的算式其實有關係,不過相距一個倍數。這個是有點困難的,始終單看系數的數字,未必就能聯想得到。若想得到有關係,那些6x + 6、6x + 7和6x + 8之間,較常見的想法都是把中間的當成是另一個未知數,那樣y - 1、y和y + 1之間,往往有不錯的化簡方式。

就算展開了,也要看得懂y4 - y2 - 72 = 0是關於y2的一元二次方程,才會知道計算得到。單是這部分,通常出現在中五「續方程」那一課的練習之中,不算是較難的那些,但附加了之前的部分,題目對一般中五生來說就過難了。這個解出來也只是考慮實數解,至於複數解,若要考慮也容易,無需特別說明。

解了y出來之後,當然別忘了原本的未知數是x,也要解出來,學生不時在做了關鍵步驟之後,就漏了解答題目原本的問題,數學上是解答未完整,考試上是失了分。

一些中五的排列與組合的題目,若是一般難度的,可能跟小五小六奧數裡的組合問題差不多難度。若果學生到了高中才接觸奧數,心理上的落差可能很大。課內即使讀到考試八九十分,但別說高中奧數,往往對初中奧數或者小學奧數都感到相當困難,心理上可能要一段時間才承受得了。

解難的期望也會有落差,平常遇到的課內問題,普遍只需要十幾分鐘,就解得了八八九九,但遇荈虃たD,就算只是中三程度左右,平均可能已經需要半小時至45分鐘,還要適應由大量成功變成大部分難以完成的心理關口。

當然,始終各人對於心理上的適應力有分別,能很快適應的也大有人在,不過謹慎一點看,還是從年少時開始適應和成長,發展起來會比較順利。

到了高中才發展,那可能發展得較好時已經畢業了,能力要到大學時才表現出來,當然,這也比未發展為好。

個人認為,早些發展,早些看到自己的能力和專長,在中學生涯裡會比較快樂,始終人都喜歡有能力而自信的自己,而不是想到了高中時才感到挫敗,沮喪和迷惘。 ■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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