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【奧數揭秘】計算日期說「同餘」

2017-03-08

看茪樴銦A小時候有時會問起,若果今天是星期三,30天之後會是星期幾。這個不難的,就是先看看30÷7=4...2,得知餘數是2,就知道是星期三下兩天,即星期五。

只是問題再推進一點,比如不是30天,比如30,000天又怎樣?或者天文數字一般大的,2300天之後星期幾,那又怎樣計?

原來這個也不太複雜的。不過在解答之前,先介紹一些符號,方便表達。

這次介紹的課題是同餘,比如兩個數17和10,各自除7的餘數都相等,則稱「17和10對模7同餘」,記為17≡10(mod7),其中一個特性就是

17n≡10n(mod7)

當中n為正整數。

另外對於17n,有17n≡(2×7+3)n

         ≡3n(mod7)

這當中暫時略去了其中細緻的數學推論的部分,因為那樣需要的背景知識會比較多,篇幅也會長,暫時只需要知道對於17n這些高次方的數,除以7的餘數,可以先取17除7的餘數,即是3,再取n次,即3n,那就可以了。這樣就有足夠工具去處理原先星期幾的問題了。

問 題

今天是星期三,那樣2300天之後是星期幾?

用剛剛所說同餘的方法,一會兒就找到答案了,算式如下:

2300=(23)100

  =8100

  =1100(mod7)

  =1

原來就是1天之後,即星期四。

同餘好處多 化入日常運算

這個答案的確簡單快捷,是令人驚喜的。原本2300這個大得難以處理的數字,在找餘數的時候,原來可以這玲眾獢C雖然初時要學點新的符號,是有點陌生,但之後找餘數,就快了很多倍,這也算是很值得學了。然而這還只是同餘理論的一點皮毛而已。

同餘不單是解一些特定題目的特殊方法,而是觀察整數運算時一個普遍的角度。比方說想檢查一道算式有沒有算錯了,用同餘的角度也可看到。例如觀察以下算式:

194+282=131104

這道算式就是錯的。不是因為真去計算194和282然後加起來所以知道是錯,而是可以通過觀察等式兩邊除以9的餘數得知算式為錯。

194+282≡14+12(mod9)

 =2

而右邊則是

131104≡1+3+1+1+0+4(mod9)

   =10

   =1

這些都是可以心算出來的事,所需時間不用一分鐘,大部分人都可以做得到。

要留意的是,這樣的觀察,並不是說餘數同樣是2的話,就一定計算正確。它只是指出,餘數不相同,答案一定不正確。若果有答案不對而餘數剛好相等的情況,需要另外的測試才能知曉。

這個觀察的角度,就算有限制,也比平常見蚢B算的數字很大時,對答案對錯毫無認識是好得多。而且能觀察的角度,除了是除以9的餘數,還可以是其他數字,角度是無窮的多,真有大的錯誤,試幾個之後,很難有僥倖的情況。

同餘的其中一個極大的好處是它能化入日常運算,強化了每道整數算式的準確度,對於代數式,也是有極大的洞察力。由於這些好處,因此也是中學奧數中必修的課題。當然競賽相關的問題可以很深很難,但淺近地看,對日常的算術也是有作用的。同餘的用途廣泛,也正是魅力的所在,值得好好去學習一下。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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