這次分享一道根式估算的問題。若是平常的四則運算，用四捨五入，估算起來就變容易，大概也知道大小，到了有根式，比如要知道[23] 是多少，也要想想才知道它的個位，至於小數點後怎麼樣，又沒主意了。這次的題目有個小技巧，有點趣味。
問題：
比([3] + [2] )6 大的最小整數是什麼？
分析：
按平常的想法，去把括號展開，會有不少個根號，而且又有[2] 和[3] ，相當複雜。於是就要換個想法，考慮一個大一點點的數，又剛好跟這個數相關，可以化簡許多項的數。
答案：
考慮P = ([3] + [2] )6 + ([3] - [2] )6，留意 ([3] - [2] )6是一個小於1的數。然後用恒等式a3 + b3 ≡ (a + b)(a2 - ab + b2)，得出P = [([3] + [2] )2 + ([3] - [2] )2] [([3] + [2] )4 - ([3] + [2] )2 ([3] - [2] )2 + ([3] - [2] )4]
其中([3] + [2] )2 = 5 + 2[6] ，類似地，([3] - [2] )2= 5 - 2[6] ，留意到除了根號的項正負相反，沒根號的整數部分是一樣的，因此加起來時根號的項都互相抵消，和為5 + 5 = 10。再運用恒等式(a + b)(a - b) ≡ a2 - b2，得積為1。
同理得，([3] + [2] )4 + ([3] - [2] )4 = 49 + 49 = 98。
因此P = 10 × (98 - 1) = 970。
由於P與([3] + [2] )6 的相差小於1，因此P = 970是比([3] + [2] )6大的最小整數。
這題若是想不出什麼東西去突破，是相當困難的。就算知道加那個([3] - [2] )6或許有點效果，要是那些恒等式未太熟練，技巧上也未察覺到那些含根式的項可以互相抵消，做起來也不太舒服。當然，說到底若果答案加起來是個整數，那樣一直展開，最終得到的答案還是一樣，但都只算是見步行步，得到答案也只是碰巧，沒有通過恒等式預見到方法可行那麼有把握。談起展開原本的算式([3] + [2] )6，除了逐個括號展開以外，也是有特別方法的，就是高中的二項式定理，那是延伸部分的內容，初中的讀者可以在網上找找。
這道題要改數字，當然也是可以，關鍵在於兩個根號內的數，取根式之後，相差小於1。比如找找大於([7] + [5] )6的最小整數，這樣([7] - [5] )6小於1，就可以用差不多的技巧去解題。那個指數6，當然也可以改一改，比如改成4，做着也容易了，當作一點小練習也不錯。不過若是指數改了單數，那又未必很好做，因為題解裡的運算，之所以簡單了，就是因為雙數次方的括號，展開時把根式的雙數次方都化成了整數，那才令題目做起來比較舒服。另外，題目裡的指數6字，運算起來就可以用上了恒等式，那樣是比較方便的，要是指數是8字，又會複雜一些。
數字改一下，再改一下，那就漸漸看到這道題目的各方面，原來設計時就已經包含了一些令數字易計的元素，比如指數6，也看到這個指數是雙數，令運算的過程舒服一點。這些特別設計的數字，是方便學生在挑戰難度之中，省略許多繁複的運算，奧數題裡就經常要考慮這些簡化運算的部分，因為題目很想設計到令學生避開繁瑣的計算步驟。
奧數裡有部分是趣味題，未必時刻都有很大的實用性，但這是沒所謂的，比如看詩詞聽音樂，也是趣味為先，也未必有什麼實用目的，感受一下也好。 ■張志基
■香港數學奧林匹克學校
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。