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【奧數揭秘】有根號的算式

2019-09-11

這次分享一道根式估算的問題。若是平常的四則運算,用四捨五入,估算起來就變容易,大概也知道大小,到了有根式,比如要知道[23] 是多少,也要想想才知道它的個位,至於小數點後怎麼樣,又沒主意了。這次的題目有個小技巧,有點趣味。

問題:

比([3]  + [2] )6 大的最小整數是什麼?

分析:

按平常的想法,去把括號展開,會有不少個根號,而且又有[2] 和[3] ,相當複雜。於是就要換個想法,考慮一個大一點點的數,又剛好跟這個數相關,可以化簡許多項的數。

答案:

考慮P = ([3]  + [2] )6 + ([3]  - [2] )6,留意 ([3]  - [2] )6是一個小於1的數。然後用痤它{3 + b3 ≡ (a + b)(a2 - ab + b2),得出P = [([3]  + [2] )2 + ([3]  - [2] )2] [([3]  + [2] )4 - ([3]  + [2] )2 ([3]  - [2] )2 + ([3]  - [2] )4]

其中([3]  + [2] )2 = 5 + 2[6] ,類似地,([3]  - [2] )2= 5 - 2[6] ,留意到除了根號的項正負相反,沒根號的整數部分是一樣的,因此加起來時根號的項都互相抵消,和為5 + 5 = 10。再運用痤它(a + b)(a - b) ≡ a2 - b2,得積為1。

同理得,([3]  + [2] )4 + ([3]  - [2] )4 = 49 + 49 = 98。

因此P = 10 × (98 - 1) = 970。

由於P與([3]  + [2] )6 的相差小於1,因此P = 970是比([3]  + [2] )6大的最小整數。

這題若是想不出什麼東西去突破,是相當困難的。就算知道加那個([3]  - [2] )6或許有點效果,要是那些痤它‘慾蚍蘀m,技巧上也未察覺到那些含根式的項可以互相抵消,做起來也不太舒服。當然,說到底若果答案加起來是個整數,那樣一直展開,最終得到的答案還是一樣,但都只算是見步行步,得到答案也只是碰巧,沒有通過痤它★w見到方法可行那麼有把握。談起展開原本的算式([3]  + [2] )6,除了逐個括號展開以外,也是有特別方法的,就是高中的二項式定理,那是延伸部分的內容,初中的讀者可以在網上找找。

這道題要改數字,當然也是可以,關鍵在於兩個根號內的數,取根式之後,相差小於1。比如找找大於([7]  + [5] )6的最小整數,這樣([7]  - [5] )6小於1,就可以用差不多的技巧去解題。那個指數6,當然也可以改一改,比如改成4,做茪]容易了,當作一點小練習也不錯。不過若是指數改了單數,那又未必很好做,因為題解裡的運算,之所以簡單了,就是因為雙數次方的括號,展開時把根式的雙數次方都化成了整數,那才令題目做起來比較舒服。另外,題目裡的指數6字,運算起來就可以用上了痤它﹛A那樣是比較方便的,要是指數是8字,又會複雜一些。

數字改一下,再改一下,那就漸漸看到這道題目的各方面,原來設計時就已經包含了一些令數字易計的元素,比如指數6,也看到這個指數是雙數,令運算的過程舒服一點。這些特別設計的數字,是方便學生在挑戰難度之中,省略許多繁複的運算,奧數題裡就經常要考慮這些簡化運算的部分,因為題目很想設計到令學生避開繁瑣的計算步驟。

奧數裡有部分是趣味題,未必時刻都有很大的實用性,但這是沒所謂的,比如看詩詞聽音樂,也是趣味為先,也未必有什麼實用目的,感受一下也好。 ■張志基

■香港數學奧林匹克學校

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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