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【奧數揭秘】詳細答題目 長遠有進步

2019-11-13

這次分享一道證明平方數的問題,然後談談解難中一些容易有的缺點。

問 題:若c = 1982 + 1982.1992 + 1992,求證c是一個平方數。

答 案:留意到算式中只有198和199,兩者相差1,不妨設x = 198,那牯潀‵h成為c = x2 + x2(x + 1)2 + (x + 1)2。

聯想到痤它(a + b)2 ≡ a2 + 2ab + b2,會發現x和(x + 1)可能是痤它﹞云榮和b,而2ab = 2x(x + 1)又恰好跟x2(x + 1)2類似,於是就想到添項的技巧。經添項後︰

c= [x2 - 2x(x + 1) + (x + 1)2] + [x2(x + 1)2 + 2x(x + 1) + 1] - 1

= [x - (x + 1)]2 + [x(x + 1) + 1]2 - 1

=(x2 + x + 1)2

也就是說c是一個平方數。

解題中的關鍵,在於添項的技巧,而當中添項也不是隨便的,要留意到當中2x(x + 1)的部分有特殊效果才會加上。雖然是這樣說,不過仔細想起來,有了加添2x(x + 1)的想法,也未必那麼順利,比如把2x(x + 1)加上x2 + (x + 1)2,-2x(x + 1)放在x2(x + 1)2右邊,就會得到c = (2x + 1)2 + [x(x + 1) - 1]2 - 1,不易化成平方數。

談起這些解題關鍵,想得細緻一點總是好的,有時解難的時候,若果心思比較粗疏的人,覺得看到了添項的技巧,也許就覺得自己真個可以解完了,說不定就漏了細節,看不清添項當中還有哪些要看清,就未必有那麼順利。解難的過程中,很多想法在聯想之間好像抓到關鍵,然後覺得自己會解得到,就沒寫出來,這樣往往就會遺漏了當中的重要細節,尤其是那些運算中途可能遇上的困難。日子久了,知識就建立在一個虛浮的基礎上,即使感覺上好像能夠解很多題目,實際上真能算出來的卻是少了一截,實際能力也會比預期中的差,到了考試或比賽,成績就難免會令自己失望了。

有些學生做數學題,會恃茼菑v夠聰明,集中力也強,就忽略了寫下來的過程,往往難以發現思想中的漏洞,即使仍能解決相當多的題目,但水平難以有效提升。不過,會有這些自我要求的學生,一般水平都相當好,所以即使有缺陷,一時間失誤也未必很多,缺陷就沒那麼明顯。愈是缺乏細節的表達,學生愈難做深入的反省,老師亦難以了解和評核學生的思考過程,從而給予適當的建議。

學生能夠寫出細節,是一種良好的思想訓練,寫到熟練之後,怎樣的細節都可以寫得清楚,那時反而可以省略一下,但必須要先能寫,才能省,倒過來的話,就容易學得虛浮了。

學生初時總會覺得煩厭,因為耐性本身就是由不耐煩當中鍛煉出來。先經歷一點不耐煩,然後耐得住性子寫出細節,之後看到了寫細節的好處,才漸漸懂得欣賞這點沉穩的做法,也會漸漸見到學習效果,然後安於其中。這點耐性的訓練也要循序漸進,學生原本只想寫兩行,那寫出了五行就是一種進步,至於怎樣才算夠仔細,就視乎學生隔些日子後是否還能理解,以及寫出來的推論是否仍有可質疑的空間作準。

這樣學習的成功例子是很多的。從前有一個奧數學生,他把所有題目,不論長短都當作長題目來答,能寫得仔細的都盡量仔細,後來他小六時參加國際賽,就得到全場總冠軍。學數學這回事,許多人不時都談起天分,但其實學習方法也是很重要的。沉實的學習方法,比起天資,往往能令人走得更遠。 ■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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