這一年多以來，圍棋界人與電腦的大戰，掀起了一陣圍棋的熱潮。談起圍棋，與棋盤相關的奧數問題，是相當多的。不單止是圍棋棋盤，也有國際象棋的棋盤，棋盤的尺寸有大有小，當中有許多隱藏的規律，令到簡單的兩三句話，就可以依據邏輯，推論到很深入，見到一些表面難以覺察的定律。
【問題】在4×4的棋盤上，隨意填上1與-1。若是把每個方格的數字改變為相鄰方格之積，其中相鄰的定義為彼此有公共邊，那麽是否能經過有限次這樣的變換後，使得所有方程中都是1？
說明：比如下列左方的方格，經一次變換後，就變成了右邊的。
【答案】看着上方說明的圖，又1又-1的，看着還真眼花繚亂，因此之後的圖都留空了1的方格，以免看來太複雜。
這題看來，還真是摸不着頭腦的，究竟是不是能做到也不知道，那思考的方向是怎樣呢？是肯定還是否定？這也是其中一個難處。
若是普遍都能做到，那就要提出一個普遍都能做到的方案。若是無法做到，就要提出一個永遠無法變成全部1的形式。
而事實是，這種無法變成全部1的形式，是存在的。因此問題的答案是否定的。而該形式如下：
這個形式的特徵是，它是在變換後仍然維持原狀的，因此所以-1都不會變了位置。而且這些變換後維持原狀的形式，還不是唯一的。
【結語】構造法解題靠靈感
看着這題的答案，有些人可能會問，那怎樣想出來的？好像無緣無故做了一個形式出來，就解決了，完全好像沒先兆似的。的確是這樣，這就是構造法解題的特點了。
構造法解題是什麽呢？簡言之就是把答案的形式做出來。作出來的過程，固然可能是一步一步地推理出來，但亦可能是毫無先兆的靈感中創造出來的。
在一定的條件下，經過一些嘗試，猜想和許多失敗之中，毫無預知的情況下，突然有一下子想了出來。作出來的形式可能在理解上是很簡單的，正如上方的問題答案，該形式在測試後就知道是真確的，但要做出來，未必是開始時就會想得通。
構造法相關的問題，是奧數其中一個極大的難點，不時都出現在奧數問題中最難的部分。即使知道了要構造，也可以想不出怎樣構造，沒有既定的方法，更沒有所謂題型。即使能成功構造出來的人，也未必可以講得出怎樣想出來的。這種構造性問題，完全跳出了課程內的數學那種差不多事事有跡可尋，有定理有方法之類的思維，在解構造性問題之中，學生會對數學有另一層次的體驗。
在奧數之中學習解難，其中一個重要的體會是，對於一個難題，不一定有普遍可行的做法。在解難之中，找尋萬能鑰匙的思想，是常見的誤區，這點心思是要避免的。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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