有時在宴會上，也有些抽獎的時候，抽獎的方式可以有差別，比如每件獎品都不同，那麽抽出來次序，就決定了誰拿了什麽獎；若每件獎品相同，又是另一回事；抽了出來，然後抽出來的號碼能否放回去，又是另一種情況。
總結起來，就是分次序與不分次序，能放回去與不能放回去，共4種情況。4種情況得出來的排列與組合的總數，是有分別的。
為了討論方便，先決定號碼有10個，獎品有3個。普遍有是n個號碼中取r個數。
先討論分次序與能放回去的情況，那樣第一個獎有10個選擇，第二個和第三個分別都有10個選擇，共個103選擇，普遍是nr。
然後是分次序與不能放回去的情況，那樣第一個獎有10個選擇，第二個有9個選擇，第三個有8個選擇，因此共有10×9×8=720種選擇，普遍是n(n-1)(n-2)...(n-r+1)，記為Pnr。
之後是不分次序又不能放回去的情況，那其實就是考慮剛剛談及的分次序又不能放回去的情況，然後除以3個獎品的排列總數，即[10×9×8] [1×2×3][=120]，普遍來說有[n(n-1)(n-2)...(n-r+1)] [1×2×3×...×r]，記為Cnr。
最後就是不分次序又能放回去的情況了，這個在課程內較少提及。
問 題 一
10個數之中，任意取出3個，而且可以重複取同一個，那樣有多少個不同的組合？
答 案
考慮右圖，把1至10用9條「棒子」分成10列，另外有3個圓點代表取出的數字。那麽2的那一列有兩個圓點，就代表2被取出兩次，如此類推。
這樣，題目要求的數，就是把這些圓點和棒子排成一列的組合數。當中棒子和圓點共有3+9=12個，取其中3個為圓點，則組合數共有[C123=][12×11×10] [1×2×3][=220]個。
普遍來說，棒子比要選的n個數少一個，即(n-1)支，圓點為r個，因此組合數為Cn+r-1r ，又可記為Hnr。
這樣在抽獎中4個情況都全面地談及了，列表如右：
可放回去 不可放回去
分次序 nr Pnr
不分次序 Hnr=Cn+r-1r Cnr
清晰表達模型助計算
剛才講到Hnr的時候，用到了圓點與棒子的模型來理解，然後一下子就有答案了，這個是有點神奇的。事實上，組合數學中的計算方法，有時就要依靠一些好的模型。不同人取的模型不同，計出來的複雜程度也大有差別。
而組合數學有時也是難以理解別人的計法的，因為別人一道算式，背後的模型可能跟自己設想的大有差別。因此別人寫一道算式，當中有些Pnr或Cnr之類的符號，即使頗有經驗的人，要準確了解背後的思路，還得要一番功夫。
由於模型對計法大有作用，因此把自己的模型表達得清晰是重要的，一方面是與人溝通的需要，另一方面是自己作記錄，以求改良。不同的模型累積得多了，面對組合問題也多點想法，嘗試的方向多了，成功的機會也大一點。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
逢星期三見報