生日會中切蛋糕的時候，切起來有時並不是平均的，有些是大件一點，有些細件一點。若果蛋糕是圓形的，切開的方法就是平時切薄餅那樣由中間切起，那樣原來可以提出一些不定方程的問題。
比如有3個一樣大的蛋糕，一個可平分為x份，一個可平分為y份，一個可平分為6份。由3個蛋糕中各拿一份出來，前兩者合起來，剛好和後者一樣大，那麽x和y分別可能是多少？
把問題數學化地描述，分為x份時，每份[1][x] ；分為y份時，每份[1][y] ；分為6份時，每份[1][6] ，因此算式為[1][x] [1][y] [1][6] [+][=]。其中由於x和y是多少份，所以都是正整數。
問 題
解不定方程：
其中x和y都是正整數。
答案
分數式一般都比較複雜，先用一點代數技巧把上式化簡。
[1][x] [1][y] [1][6] [+][=]
6x+6y=xy
xy-6x-6y=0
到這裡有個技巧，就是要加一點什麽，令左邊可以做因式分解。
xy-6x-6y+36=36
(x-6)(y-6)=36
由於(x-6)和(y-6)都是整數，可以考慮36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6。
舉例來說，若
x-6=3
y-6=12
x=9,y=18
要留意x和y可以互換次序的，因此x=18，y=9也可以。為了表達得比較簡單，x和y可不分次序時，記為{x,y}，那麽以上的解就是{7,42}，{8,24}，{9,18}，{10,15}，{12,12}。
「對稱性」可偵測錯誤
這道問題類似的形式，在奧數中是挺常見的，不過很少會用想到在切蛋糕的情景中出現，多是純粹地以數學形式來提問。
當中用到了較特殊的代數技巧，比如額外添加了36這個數字，令到等號左邊可以做因式分解。因式分解後再考慮36的各個分解的形式，去求出答案。
從代數式中，若是留意到x和y是可以互換的關係，計算時就可以做少一半。就是知道x是18和y是9時。同時，亦知道x可以是9和y可以是18。這個可互換的性質叫「對稱性」。
這個對稱性由代數的角度下固然能看得到，事實上由原來的情景中也會看得到，因為開始時決定哪個蛋糕是x，哪個是y，都是隨意的，先後沒有必然的限制。
在處理代數式前，先觀察它有沒有對稱性是有作用的，比如求解時最後的答案若果x與y互換就不符合算式，就會知道一定是什麽地方出錯了。或者是化簡算式時，原本是對稱的，化簡後就不對稱了，也是有問題的。因此對稱性是其中一個用來偵測錯誤的角度，可以廣泛應用在解題之中。
對稱性在課內的數學上比較少提及的，多是奧數才會提到。課內講對稱多是指圖形的軸對稱與旋轉對稱，較少用代數來講。本身對稱的概念並不複雜，但用起來卻會大幅減省了求解時的功夫，因為只要求到其中一個，就會找到對稱的另一個。若是問題再複雜一點，效果就更明顯了。
作為觀察代數式的一個角度，對稱性有着廣泛應用，這個平日在處理算式時，可以多由這個角度檢查一下，看看有沒有新的發現。 ■張志基
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