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【奧數揭秘】圓冪定理

2018-10-31

關於圓形上的定理有很多,其中一條課程內較少提到的是圓冪定理。有時候即使出現在課程內的練習裡,也很少拿出來重點討論。奧數裡就比較注重這條定理,因為是基礎知識的一部分。

圓冪定理:過P點作直線交圓O於A和B(A和B可以重合),則PA.PB是一個定值,稱為P對於圓O的冪。(圖一)

定理也就是說,若果過P的直線通過圓的另外兩點A'及B',則有PA.PB=PA'.PB'。要留意,定理中的P點並不一定要求在圓外的,也可以在圓內,定理同樣成立。

定理背後的證明是很簡單的,就只是用相似三角形和圓內接四邊形的基本性質就行了。雖然背後的根據不太複雜,但作為平面上的點和圓之間的關係來說,定理指出的定值不太明顯,也是一道能廣泛應用的定理。至於定理中的定值是什活A其實也是簡單的,就是|OP2-R2|,其中R是圓的半徑。這個讀者可以想想為什麼。以下分享一道相關的問題。

問 題

已知一圓及平面上兩個定點A和B。過A作一割線AMN,交圓周於M和N,並且不通過B。證明:經過M,N及B的圓,還通過另外一個定點,而與割線AMN的選取無關。

答 案

以下只按笓和B都在圓外的情況討論(如圖二),其餘類似。

對於任意的AMN,作通過B、M和N的圓,連接AB,與圓相交於C。因此得AM.AN=AC.AB。由於AM.AN和AB都是常數,AC亦是常數,故此C是一個定點。

解題過程之中,用上了圓冪定理,很快就作出了C點來。不過回想起來,若沒有指明要用圓冪定理的話,也未必很直接就想出了那C點的。

圓冪定理除了例題中的用法外,還有其他的用處,比如相關的命題還可以用來證明四點共圓,或證明一條直線與圓相切之類。不過,這些就不打算一一寫出來了,免得好像把百科全書的條目抄出來似的。現在互聯網的世界很發達,要找相關條目不難。

初學這條定理,好像覺得不知為何算是一條定理似的,覺得只是一道習題的難度,這個筆者在學生時代也有這個疑惑。現在倒是覺得,平面上一個圓和一個點的情景普遍得很,而且由點上引直線相交於圓兩點的情景,亦很常見。還可以用差不多的命題證明四點共圓,或直線與圓相切。這些都令到定理表達的結果有四通八達的感覺,比起平常一道只用來增進課業理解的習題,有更深遠的意義。

許多時候,學習就是要判斷一個命題值不值得去記住。這點判斷,背後多少是有理據的,隨虒g驗的增長,看茼P一個命題,感覺可以有分別。

學生時代,可能覺得凡是叫定理的都要記,叫問題的就不用記,學多了可能會感到有些問題意思挺深遠,值得記住那個結果。

當然,學生時代,最好還是在記憶定理之中,嘗試理解一下為什麼那個結果值得記住,比較容易學會如何鑑賞一個命題。這個就要在平凡的學習生活中去體會了。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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