關於圓形上的定理有很多，其中一條課程內較少提到的是圓冪定理。有時候即使出現在課程內的練習裡，也很少拿出來重點討論。奧數裡就比較注重這條定理，因為是基礎知識的一部分。
圓冪定理：過P點作直線交圓O於A和B（A和B可以重合），則PA．PB是一個定值，稱為P對於圓O的冪。（圖一）
定理也就是說，若果過P的直線通過圓的另外兩點A'及B'，則有PA．PB=PA'．PB'。要留意，定理中的P點並不一定要求在圓外的，也可以在圓內，定理同樣成立。
定理背後的證明是很簡單的，就只是用相似三角形和圓內接四邊形的基本性質就行了。雖然背後的根據不太複雜，但作為平面上的點和圓之間的關係來說，定理指出的定值不太明顯，也是一道能廣泛應用的定理。至於定理中的定值是什麽，其實也是簡單的，就是|OP2-R2|，其中R是圓的半徑。這個讀者可以想想為什麼。以下分享一道相關的問題。
問 題
已知一圓及平面上兩個定點A和B。過A作一割線AMN，交圓周於M和N，並且不通過B。證明：經過M，N及B的圓，還通過另外一個定點，而與割線AMN的選取無關。
答 案
以下只按着A和B都在圓外的情況討論（如圖二），其餘類似。
對於任意的AMN，作通過B、M和N的圓，連接AB，與圓相交於C。因此得AM．AN=AC．AB。由於AM．AN和AB都是常數，AC亦是常數，故此C是一個定點。
解題過程之中，用上了圓冪定理，很快就作出了C點來。不過回想起來，若沒有指明要用圓冪定理的話，也未必很直接就想出了那C點的。
圓冪定理除了例題中的用法外，還有其他的用處，比如相關的命題還可以用來證明四點共圓，或證明一條直線與圓相切之類。不過，這些就不打算一一寫出來了，免得好像把百科全書的條目抄出來似的。現在互聯網的世界很發達，要找相關條目不難。
初學這條定理，好像覺得不知為何算是一條定理似的，覺得只是一道習題的難度，這個筆者在學生時代也有這個疑惑。現在倒是覺得，平面上一個圓和一個點的情景普遍得很，而且由點上引直線相交於圓兩點的情景，亦很常見。還可以用差不多的命題證明四點共圓，或直線與圓相切。這些都令到定理表達的結果有四通八達的感覺，比起平常一道只用來增進課業理解的習題，有更深遠的意義。
許多時候，學習就是要判斷一個命題值不值得去記住。這點判斷，背後多少是有理據的，隨着經驗的增長，看着同一個命題，感覺可以有分別。
學生時代，可能覺得凡是叫定理的都要記，叫問題的就不用記，學多了可能會感到有些問題意思挺深遠，值得記住那個結果。
當然，學生時代，最好還是在記憶定理之中，嘗試理解一下為什麼那個結果值得記住，比較容易學會如何鑑賞一個命題。這個就要在平凡的學習生活中去體會了。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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