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【數揭秘奧】整除的技巧

2018-11-15

小學時談起一個多位數能否被5整除,人們都知道個位是0或5就可以了,這就是5的整除法則。若要判斷一個數能否被3整除,又會有別樣的法則。這些就是整除性的問題了。一般來說,較常用的整除法則,都是用來判斷一個數能否被2,3,4,5,6,8,9或11整除的,至於7的整除法則,就較少提及,因為比較複雜。這些網上要找也不難,也就不仔細說明了。

整除性相關的知識,其中一個重要的作用,在於找因數。找因數在運算上是非常重要的步驟,比如分數加減時通分母,就要找最小公倍數,也要找公因數的。若是缺乏整除性相關的知識,往往要花很多時間去嘗試各樣的數字,解題速度是相差很遠。

整除法則在小學階段,大都只是知道它們都是可行的,也多少懂得運用,但相關的證明多數就不太知道了。若是到了初中階段,代數上有相當的能力,就會漸漸明白法則背後的原因是什活C要是在奧數之中明白同餘相關的知識,那樣要自行找出各樣的整除法則,也就很容易了。

關於整除法則,固然可以有很多,也可以很複雜,但整除相關的技巧,有一個理解起來很簡單,但又很實用的,這次想分享一下。

例如一個多位數78921,想判斷它能否被7整除,那洛i以把它減去一些7的倍數,也不會影響它除以7之後的餘數。比如說,把78921減70000,減8400,減21,那狡l下就只有500,這樣一下子就心算到餘3了。留意到這些之後,要心算也是極易的,就只是看茩鴠豪滬蚍ヾA各個位看來跟7的什麼倍數差不多,就減去那部分,用起來是很快的,再配合其他整除性相關的知識,又會再快一點。

這個技巧的好處是除了7以外,對於任意的除數,要是對它的倍數多少有認識的,用起來就會很快。若是覺得剛才的78921除以7的效果未夠明顯,可以看看以下的問題。

剛才寫答案出來,都已經一大段,但真正做起來時,想荇囓h一大堆數之後,一兩分鐘就做到答案了,背後的技巧還只有一個而已。

奧數裡除了一些艱難的題目以外,久不久還會有一些簡單而實用的想法。可能只是其中一道習題,但把問題的技巧化入日常的思想裡,卻是可以有很大的用處。這也是奧數的趣味之一。■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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