logo 首頁 > 文匯報 > 教育 > 正文

【奧數揭秘】學會調整比例 豐富幾何思想

2019-01-16

處理幾何的問題時,一般來說有純幾何的方向和代數的方向。純幾何可以用一些幾何變換,好像平移、旋轉和反射之類。而代數法,則是設未知數,找代數關係。或者是用上了坐標幾何,綜合兩者的想法。這次分享一些處理幾何題目的技巧。

問 題

在圖一中,ABCD是一個正方形,其中PA︰PB︰PC = 1︰2︰3。證明∠APB=135o。

答 案

由於線段只有長度比,若整個圖形按比例放大縮小,長度比是一樣的,因此不妨設PA = 1,PB = 2和PC = 3。

把△APB沿B點旋轉90o至△CP'B,連結PP'。由∠CBP' =∠ABP,得知∠PBP' =90o。因此△PBP'為等腰直角三角形,所以∠BP'P=45o。

另外由畢氏定理得知PP'= [22+22=2 2] 。

再考慮△CPP',由12+([2 2] )2=32,按畢氏定理的逆定理,得知∠CP'P=90o。

故此∠APB=∠CP'B=45o+90o=135o。

平常解含比例的題目,若果題目裡的資料,有比例亦有長度單位,未必可以用放大縮小的想法,把線段比變成實際長度的。要是題目裡的資料,在放大縮小之後仍然一樣,那樣就可以在調整比例的過程中,把數字故意弄得簡單一點。

這題裡若是沒有調整比例,長度上用上了k、2k和3k,做起來分別不大,但若果當中用上了代數的方法,比如要找些直線方程之類的,少一個未知數k,做起來就簡單多了。

調整比例的想法,一般在代數法時比較常用,尤其是用坐標幾何的時候。平常一道幾何的題目,用上了坐標,一般來說工具是夠強的,但代價是計算可以非常複雜。若是調整比例時做得好,把關鍵的長度變成了1個單位,少了未知數的情況下,可以大幅簡化運算。

另外,把圖形套上了坐標的時候,原點的位置和x軸與y軸的方向選取也很重要,選對了坐標,許多數字都能變得簡單。

題目裡的解法是用幾何的方法,而不是代數的方法,那樣可以從圖形的變換之間,較為直觀地看到結論。要是由角度的考慮之中用上了三角學,那樣當中的演算變化,是比較難以預料的,而且題目裡也沒什麼特別的角度資料。

或者,若是用上了坐標幾何,即使有了調整比例的想法,由於線段比的資料都是一些斜線,要是用上了距離公式,算式還是包含根式的,相當複雜。由三角學的方向和坐標幾何的方向作出比較之後,就覺得純幾何的想法,看來比較適合。

處理幾何題時,懂得選擇思考的方向,再配合調整比例,設置坐標等技巧,思想就豐富多了。做奧數題的時候,許多時嘗試的時候太早放棄,往往是懂的技巧太少,即使想嘗試得久一點,但腦海早已一片空白,不知道還可以再做些什麼。勉強去堅持得久一點,固然是毅力的表現,但苦得來效果也有限。平日多累積各樣的想法,就是未做到也欣賞一下別人的解法,也是豐富思想的好方法。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

逢星期三見報

讀文匯報PDF版面

新聞排行
圖集
視頻