小時候早上步行返學，路上總會經過某間麵包店，新鮮出爐的麵包十分吸引，真想買個來大啖咬下去。放學後沿路回家又會經過這間麵包店，這時我會忍不住進去買個麵包來滿足地享受一番。
這類來來回回有規律地重複出現的事情在數學上很常見，其中一種就是三角函數。三角函數是周期函數，當θ由0。增加至360。，sinθ及cosθ的值會在-1至1之間來回變化一次，就好像莘莘學子每天在家與學校之間來回往返一次的道理。因為0.5在-1與1之間，當sinθ或cosθ的值在-1至1之間來回變化一次時，它們的值各自會有兩次等於0.5的機會，所以，當 0。⩽θ<360。，sinθ=0.5會有兩個解，而cosθ=0.5亦然。按照這個理解，只要 0。⩽θ<360。，sinθ=0.25也同樣會有兩個解。簡單地說，當0。⩽θ<360。及-1 可是對於兩個端點1及-1並不正確，即是上述的p不可以等於1或-1。當0。⩽θ<360。 ，sinθ=-1、cosθ=-1、sinθ=1、cosθ=1 均只有一個解。情況就好比莘莘學子每天在家與學校之間來回往返一次一樣，沿路的風景每天會有兩次欣賞的機會，但學校卻只返一次，放學後，不會再回去。
某天，我在巴士站候車時，看到一塊上下來回捲動的廣告板，它的捲動成功吸引我定睛望着好一段時間，最後發現原來這塊廣告板上只有三幅廣告，這三幅廣告按上、中、下次序被印在一幅大海報上，只需每隔一段時間，捲動這幅海報就可輪流展示這三幅廣告。
為方便起見，我用「上」、「中」、「下」去表示這三幅廣告，首先展示「下」這幅廣告，一段時間後，海報向下捲動換上「中」，然後再隔一段時間換上「上」，再隔一段時間，但這次海報要向上捲動換上「中」，再隔一段時間換上「下」，如此類推，循環不息。
問 題
假設這塊廣告板每天由上午五時三十分開始運作，直至晚上零時零分，每幅廣告每次會展示25秒才被換上另一幅，求「上」、「中」、「下」三幅廣告各自被展示的總時間。
答 案
首先看一看廣告的展示規律。假設開始運作時第一幅展示的廣告為「下」、下一幅為「中」，將規律排列如下：
「下」、「中」、「上」、「中」、「下」、「中」、「上」、「中」、……
由此可知，廣告的展示是每四幅一個循環－「下」、「中」、「上」、「中」。因為每幅廣告每次會展示25秒，所以展示一個循環內四幅廣告的時間為25×4=100秒。留意，5分鐘是300秒，若以5分鐘時段作考慮，每5分鐘可完成3個循環。由上午五時三十分開始運作，直至晚上零時零分，將運作時間分割成多個5分鐘時段，可知必定可完成若干個完整的循環，意味着每一幅廣告被展示的次數與開始運作時第一幅展示的廣告無關。
從每一個循環可知，「下」、「中」、「上」三幅廣告展示的時間之比為1︰2︰1，即是「中」展示的時間佔廣告板運作時間的一半，而「下」及「上」展示的時間是「中」的一半。由上午五時三十分直至晚上零時零分，廣告板每天運作18小時30分鐘，所以該三塊廣告各自被展示的時間如下：
「中」：9小時15分鐘
「下」：4.5小時7.5分鐘，即4小時37分鐘30秒
「上」：4小時37分鐘30秒
我們剛解決了一道周期規律問題，處理這類問題宜先找出規律，之後的計算通常不特別困難的。
現在細心看看得出的結果，發現「中」這幅廣告明顯有着較長的展示時間，換句話說，驟眼望這塊廣告板能公平地展示三幅廣告，但如果每次展示的時間相同，其實對「下」及「上」這兩幅廣告是較吃虧的。
問題的重點在於來回的規律，這類規律對處於變化範圍中間位置的物件較有利，一來一回，處於變化範圍中間位置的物件有兩次觸及的機會，但處於端點位置的就不一定。早上返學經過麵包店，放學後沿路回家會再經過一次，但學校卻只返一次；當sinθ的值在-1至1之間來回變化一次，sinθ=0.5會有兩個解，但sinθ=1卻只有一個解。
如果要令這塊廣告板上三幅廣告的展示變得公平，只需簡單地將「中」這幅廣告的展示時間改為每次12.5秒便可，這樣三幅廣告皆有相同的展示時間。
不過，「中」怎樣也是有利的，因為每次上下捲動海報換廣告時，也必定與「中」有關。
人生路上高低起伏，但絕大多數人總覺得生活的大部分時間皆處於那不高不低的平凡狀態，或許，這個現象也可以用數學去解釋吧。 ■蔡欣榆
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