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【奧數揭秘】棋盤上的覆蓋問題

2019-06-19

近來教小學生時,聽到一個問題,想起了從前自己解過類似的問題,也分享一下。

問 題

在圖一裡的圖形,稱為2×2的L形。那麼一個的棋盤,最多可以放下多少個L形?

答 案

由[8×8] [3]=[64] [3]=21[1] [3],得知最多可以放21個,不過仍要找到構造出21個的方法。

先考慮4×4的情況,由4個2×2的L形,可以拼成圖二中,一個4×4的L形,要留意這個圖形是跟2×2的L形相似的。若是右上角再補上一個2×2的L形,則只剩下一個格。(圖三)

用同樣的拼合方法,可用於拼成8×8的L形,方法主要是用4×4的L形,取代之前用的2×2的L形。先用4個4×4的L形,拼成類似圖二的情況,然後右上角,再補一個4×4的L形,這樣就會變成類似圖三的情況,這時候就已經有4×5=20個L形。然後在右上角的部分,再補一個2×2的L形,則能拼出21個L形。

剛才的方法,不難發現,若果棋盤是16×16,或者32×32,或者普遍2n×2n,都可以用類似的想法,就是先把大正方形分成四個相等的小正方形,然後就可得出一個大的L形和一個小正方形,而L形又可以用更小的L形拼成,小正方形又可再分成更小的L形和更小的正方形,如此類推。

上述的構造方式,就是由左下方到右上方,一個一個由大而小的L形拼合而成,而最終的一個格,總是在最右上方的。

其實這個問題還有另一個問法,就是證明:在8×8的棋盤裡,抽走其中一格,餘下的63格,總是能被圖一的L形密鋪。這個問題看來又難一點了。

不過仔細想想,也沒那麼複雜的,就只是先把8×8的大正方形平分成4個小正方形,而被抽走的,也只會在其中一個小正方形之中,那樣其他3個小正方形,就可以是一個L形,然後又可以分成許多個小L形。至於那個包含被抽走一格的小正方形,又可以再平分為4個更小的正方形,然後用類似的做法,一直密鋪下去。

談起這道題目,筆者在不同年齡的時候,都見過差不多的東西。第一次是在一本大學的工程數學裡見到的,就是要證明剛才提到的那件事,不過就不是8×8的棋盤,而是普遍2n×2n的棋盤。當然,若要嚴謹地寫出證明,就用數學歸納法比較好。數學歸納法是高中延伸部分會學的,這個有興趣的讀者也可以找找看。

後來筆者再看這道題出現的地方,大概是中學競賽裡,不過棋盤小了一點,不是2n×2n那樣。到近來發覺小學生也會做類似的問題,不過就只是問原本圖一的L形,如何拼成4×4的L形那樣,答案當然就是圖二那個拼法。

基本來說,在不同地方看到類似的題目,關鍵其實都是在於怎樣由較小的L形拼成大L形那樣,不過小學時就問得淺白一點,大學時就嚴謹一點、普遍一點。同一道題目,屬於什麼程度,或者是否屬於小學數學、中學數學、數學競賽,或者大學數學,其實沒什麼明顯的分界的,都是數學,看看自己想得有多深遠,推論得有多廣泛,顯現出來的程度也就不同了。

學習有時就是要懂得,怎樣在淺白的東西看出深遠的部分,或者由過難的東西中,找到淺白易學,易開始的部分。這在學奧數來說是重要的。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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