這次分享一道和平方相關的問題，然後談談因數分解的一些細節。
問 題：
設a、b、c和d是整數，且m = a2 + b2，n = c2 + d2，證明mn也可以表示成兩個整數的平方和。
答案：
mn=(a2 + b2)(c2 + d2)
=a2c2 + 2acbd + b2d2 + a2d2 - 2adbc + b2c2
=(ac + bd)2 + (ad - bc)2
初看兩個可化成平方和的數，乘起來，未必想得通為什麼也會是平方和，只是計算時展開了括號，只需要添上了2abcd的項，在一加一減之中，各自成了兩組平方數的一部分。
看代數式有時太抽象了，不妨用數字去理解一下這個結果。例如5 = 12 + 22，13 = 22+32，那樣對於5 × 13 = 65，就有65 = (1 × 2 + 2 × 3)2 + (1 × 3 - 2 × 2)2 = 82 +(-1)2。原來65這個數是可以寫成兩個不同整數的平方和。是不是任意的整數都可以寫成兩個不同整數的平方和呢？很易知道不是的，比如3就已經不行。又可以再問，那樣65除了可以拆開成8和1的平方和以外，還可以拆成其他數字的平方和嗎？這個讀者不妨試試，原來是可以的，例如65 = 42 + 72。
這個65又能寫成82 + 12，又能寫成42 + 72，這些8、1、4和7之間，有什麼關係嗎？原來有的，若果懂一點複數，就會找到當中隱藏的關係。首先65這個數是由5和13乘出來，我們嘗試用複數來分解5和13。比如5 = (1 + 2i)(1 - 2i)，13 = (2 + 3i)(2 - 3i)。兩數乘起來時，若果將1 + 2i和2 + 3i當成一組相乘，得出-4 + 7i，而1 - 2i與2 - 3i相乘得-4 - 7i，於是65 = (-4 + 7i)(-4 - 7i) = 42 + 72。若果5和13分解後，分組相乘的次序不同，例如先把1 + 2i和2 - 3i相乘，得8 + i，然後1 - 2i與2 + 3i相乘得8 - i，就得到65 = (8 + i)(8 - i) = 82 + 12。這下子就看到原來8、1、4和7之間，其實是5和13用複數分解後，不同配搭地乘起來時運算出來的。
平常要思考一個數能否化成平方和，只是試試數字，已經有點麻煩，還要問能否展開成兩組不同整數的平方和，就比較難思考，若果數字還挺大，更是相當難。不過若果掌握了上一段的想法，有時又可以簡單一點，比如考慮145，它是5 × 29，5 = (1 + 2i)(1 - 2i)，29 = (5 + 2i)(5 - 2i)，不難知道145 = 12 + 122 = 92 + 82。
剛才的想法，比如65的情況，若果單是用題目裡的分拆方式，只會看到一種展開成平方和的方法，若果用上了複數的展開，就容易見到兩種展開的方式。複數的展開對中學生來說，大概是比較新鮮的，事實上也只能輕輕涉獵一下，因為當中的分解有很多複雜的細節。
中學裡的複數，課內的大致上都是在做算術，加減乘除一下，去到解方程已經差不多了，再遠一點的也未必有，這裡也可以看到複數的一點小趣味。
談起因數分解或因式分解，中學時學了複數，也就可以問一問一個整數能否寫成一些複數相乘，或者收窄一點範圍，比如限制複數的實數與虛數部分都是整數。平常因式分解，其實也有一點限制的，比如x2 - 2，課內較少分解為(x + [2] )(x - [2] )，通常所謂做因式分解，就是分解到系數為整數或有理數的情況。
這樣就不難發現，其實所謂分解，分解成什麼數，是有個範圍的，常見的情況，當然就是整數分解為整數相乘，多項式就分解作系數為整數的多項式相乘，只是這些都是課程設計到這樣而已，事實上數學裡的因式分解，範圍大得多，要看什麼範圍內做分解。還要討論在相關的範圍內，相關的數是否有唯一分解之類的問題。
不過這些許多因數分解的問題，複雜起來，也漸漸超出了奧數的程度，有興趣的同學就要懂一些代數與數論才會明白了。 ■張志基
簡介：香港首間提供奧數培訓之教育機構，每年舉辦奧數比賽，並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊，參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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