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【奧數揭秘】幾何題問法

2019-10-23

問題:在△ABC中,E在線段AC之上,D在線段BE之上,問AB + BC + CA與2(DA + DB + DC)哪一個大?

答案:由三角不等式,得知DA + DB > AB,DA + DC > AC及DB + DC > BC,三式相加,得2(DA + DB + DC) > AB + BC + CA。

在解題的過程中,只用到了三角不等式的背景知識,算是簡單的題目,不過提問的方法比較開放式,並不是叫人去證明2(DA + DB + DC) > AB + BC + CA,而是問哪一個較大。這個問法在課內比較少見,因為課內的問題結論多數是比較確定,較少判斷命題是否正確之類。近年部分教科書也有些開放式題目,增潤題目,或是綜合題等等,提問的方式又多一點,但談到問題多元化方面,還是奧數裡變化比較大。

題目裡的圖像,假設了E在AC的線段上,其實可以進一步問,若果E在AC的延長線上,結論會否有分別?或者再問,若果D是在BE的延長線上,結論又如何?始終能畫出來的圖像只是特定的,一步一步考慮這個圖像無法顯示的情況,才可以漸漸深入結論,明白結論最普遍的形式為何。這也是學幾何的要點之一。

平常做幾何題,未做到時,固然是要探索一下圖形裡各線段和角度是怎樣,到了能解得到,其實還是可以一直探索下去的,多看幾隻角是怎樣,幾條邊是怎樣,經驗就是在這些探索之中累積出來。

這點能力累積起來都是一點一滴,沒什麼立竿見影的效果,但日子久了,就是解題上速度的分別,有時別人看來看去看不到的關係,自己一下子看通了,推論起來還很簡潔。數學解難上的速度,看起來很快,背後其實是有不少思路的累積,都是潛心思索的結果,不是一蹴而就。

有時學生以為奧數當中有什麼特別的方法,學了就變得很好,這只是看到表面。奧數學得好,背後有許多踏實的功夫,就是老師講了怎樣練,練什麼,還是要學生自己練的。

比如解難後要反省成功與失敗的關鍵,明白自己需要怎樣改善,或者問題怎樣推廣,這些都是知道了方法,就可以練習的東西,但知道並不代表學生就會踏踏實實有琱艀a練,日子久了,不同學生成長了多少,就各有分別。

解難的經驗,老師即使歸納出各樣心得,但無法直接把腦海裡的東西,全都好像輸入電腦一般,放入學生的腦海裡,所以只能說一些較有效的學習方法,或者怎樣累積經驗比較有效之類。

經驗固然要學生自己練,但若果缺乏老師指明要練什麼,學生也難以知道怎樣會進步。學習心得這東西,老師說出來只是三幾句,但是背後要累積很多年的學習與教學的經驗才想得出來,並不是隨便看看書做點練習就有。

練習解難,是不是解得愈多得荋N愈大呢?若果未有什麼心得,解得多也不錯。進一步是解完之後,反省得深入,明白為什麼解不了,是一時經驗未夠,還是背後的學習出了問題,比如知識基礎未穩,還是一時間心態未夠好,明明想多一會就想到,但就是想早點放棄。問題分析得清楚,才有踏實改善的基礎,這些都是要琱蓱M毅力,也要學生自己培養,老師只能多加提點而已。 ■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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