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【奧數揭秘】幾何題的聯想與邏輯

2019-10-30

這次分享一道幾何題,談談當中的探索過程與邏輯訓練。

問 題:在右圖中,△ABC裡,AB = AC,D和E分別是BC和AC上的點。問∠BAD與∠CDE滿足什麼條件時,AD = AE。

答 案:為方便討論,不妨設∠BAD為y,∠CDE為x,再由AB = AC,則∠ABC = ∠ACB = a。

若是要AD = AE,則角度上要有∠ADE = ∠AED,因此可以嘗試把這兩角都用a、x和y表示,看看有什麼線索。

由三角形的外角,得知∠AED = a + x,∠ADC = a + y,故此∠ADE = a + y - x。

因此若要∠ADE = ∠AED,先要a + x = a + y - x,即先要有y = 2x。

故此,先要有∠BAD = 2∠CDE,則有∠ADE =∠ AED,從而AD = AE。

從題目上來看,這是一道非常規題目,平常的題目較少會問什麼條件下兩條邊相等,若要問類似的事,通常會要求證明:「若∠BAD = 2∠CDE,則AD = AE。」這種問法在奧數比較常見。

在探索的過程中,把結果倒過來推論,思考在什麼條件下成立,或者什麼條件是等價,是常見的想法。比如題目裡的AD = AE,與ADE = AED,是可以互相推導的,而題目裡也問起角度的條件,所以各個角度能連上關係,慢慢就會浮現出那個條件是怎樣。

經驗上來說,要找些角與角之間的關係,有個做法是挺管用的,就是把一樣的角度叫作同一個名,比如題解裡的∠ABC = ∠ACB = a,思考時就不需要用兩個名來說同一個數量,比較容易看出數理上的關係。無關的角就用不同的名字,但要盡量少,最好是用同一堆名字計算出來的,好像題解裡∠ADC = a + y和∠AED = a + x,這樣來來去去都是那些a、x和y,角度之間比較容易做算術化簡,亦較容易得出隱藏的關係。

上邊說的經驗和各種探索的過程,都要自己在練習時意會,是一些粗略的想法,也沒什麼公式定理,當中變化很多。還有在探索的過程中,聯想固然很重要,但聯想與推論本身大有分別,聯想是將幾件事並排地一同想起來,而推論是有邏輯先後的,當中大有分別。

數學要好,當然先要邏輯分得清,然後聯想的能力才發揮得了,否則聯想多了,邏輯也亂了套,那樣學數學是走錯路的。探索完了,需要把邏輯整理好,才叫做完成,若是想到中途覺得想通了,就沒梳理好邏輯,是容易有很多推論上的失誤。

幾何裡學習邏輯是好的,一方面當中的直觀與聯想,能夠發現圖形線段角度之類的關係,另一方面,邏輯又能夠加強這些直觀與聯想,糾正直觀當中的失誤,也能處理更多細緻的變化,作出深遠的推論。在思考上,學生能分辨出自己是在用直觀還是用邏輯,也是一種思想的改變。平常思考,想到什麼就是什麼,較少去反省自己是用何種方式思考,或進一步問起當中的邏輯細節是怎樣。這個若是有心去練習,思考上會漸漸變得精確,也是鍛煉思考的一個不錯的起點。 ■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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