這次分享一道證明平方數的問題，然後談談解難中一些容易有的缺點。
問 題：若c = 1982 + 1982．1992 + 1992，求證c是一個平方數。
答 案：留意到算式中只有198和199，兩者相差1，不妨設x = 198，那麽算式則成為c = x2 + x2(x + 1)2 + (x + 1)2。
聯想到恒等式(a + b)2 ≡ a2 + 2ab + b2，會發現x和(x + 1)可能是恒等式中的a和b，而2ab = 2x(x + 1)又恰好跟x2(x + 1)2類似，於是就想到添項的技巧。經添項後︰
c= [x2 - 2x(x + 1) + (x + 1)2] + [x2(x + 1)2 + 2x(x + 1) + 1] - 1
= [x - (x + 1)]2 + [x(x + 1) + 1]2 - 1
=(x2 + x + 1)2
也就是說c是一個平方數。
解題中的關鍵，在於添項的技巧，而當中添項也不是隨便的，要留意到當中2x(x + 1)的部分有特殊效果才會加上。雖然是這樣說，不過仔細想起來，有了加添2x(x + 1)的想法，也未必那麼順利，比如把2x(x + 1)加上x2 + (x + 1)2，-2x(x + 1)放在x2(x + 1)2右邊，就會得到c = (2x + 1)2 + [x(x + 1) - 1]2 - 1，不易化成平方數。
談起這些解題關鍵，想得細緻一點總是好的，有時解難的時候，若果心思比較粗疏的人，覺得看到了添項的技巧，也許就覺得自己真個可以解完了，說不定就漏了細節，看不清添項當中還有哪些要看清，就未必有那麼順利。解難的過程中，很多想法在聯想之間好像抓到關鍵，然後覺得自己會解得到，就沒寫出來，這樣往往就會遺漏了當中的重要細節，尤其是那些運算中途可能遇上的困難。日子久了，知識就建立在一個虛浮的基礎上，即使感覺上好像能夠解很多題目，實際上真能算出來的卻是少了一截，實際能力也會比預期中的差，到了考試或比賽，成績就難免會令自己失望了。
有些學生做數學題，會恃着自己夠聰明，集中力也強，就忽略了寫下來的過程，往往難以發現思想中的漏洞，即使仍能解決相當多的題目，但水平難以有效提升。不過，會有這些自我要求的學生，一般水平都相當好，所以即使有缺陷，一時間失誤也未必很多，缺陷就沒那麼明顯。愈是缺乏細節的表達，學生愈難做深入的反省，老師亦難以了解和評核學生的思考過程，從而給予適當的建議。
學生能夠寫出細節，是一種良好的思想訓練，寫到熟練之後，怎樣的細節都可以寫得清楚，那時反而可以省略一下，但必須要先能寫，才能省，倒過來的話，就容易學得虛浮了。
學生初時總會覺得煩厭，因為耐性本身就是由不耐煩當中鍛煉出來。先經歷一點不耐煩，然後耐得住性子寫出細節，之後看到了寫細節的好處，才漸漸懂得欣賞這點沉穩的做法，也會漸漸見到學習效果，然後安於其中。這點耐性的訓練也要循序漸進，學生原本只想寫兩行，那寫出了五行就是一種進步，至於怎樣才算夠仔細，就視乎學生隔些日子後是否還能理解，以及寫出來的推論是否仍有可質疑的空間作準。
這樣學習的成功例子是很多的。從前有一個奧數學生，他把所有題目，不論長短都當作長題目來答，能寫得仔細的都盡量仔細，後來他小六時參加國際賽，就得到全場總冠軍。學數學這回事，許多人不時都談起天分，但其實學習方法也是很重要的。沉實的學習方法，比起天資，往往能令人走得更遠。 ■張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校