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【奧數揭秘】平移變換的應用

2019-11-28

中學的課程裡會談到平移、旋轉和反射之類的幾何變換,這些都可以用來解幾何題目,當中有不少好處,以下的題目媟|示範一下。另外也談談讀數學時會遇到的難處。

問 題:

在矩形ABCD內取一點M,使得∠BMC + ∠AMD = 180o。試求∠BCM + ∠DAM的值。(圖一)

答 案:

如圖二,把△AMD垂直向下平移到△BNC,那麼MN ⊥ BC,∠BNC = ∠AMD = 180o - ∠BMC,即BNCM為圓內接四邊形。

因此有∠BCM + ∠DAM = ∠BNM + ∠CBN = 90o。

解題過程中,第一步就用了平移的方法。平移的特點,就是每一點移動前和移動後,距離都是一樣的,比如圖二中,△AMD與△BNC之間,A移去了B,M移去了N,D移去了C,距離都是一樣的。由平移的觀點看來,很易看出ABNM和DCNM都是平行四邊形,這又是另一些不錯的資訊。另外,一個圖形平移前後,一定是全等的,這也省卻了許多證明全等三角形的細節。

說到平移,雖然有那麼多好處,但畢竟很少用在課內的數學當中,而且也沒特別提過怎樣應用,所以,若嘗試在課內使用,說明上可能相當困難,不易說得清楚,還是當作思考上的輔助工具比較好,要解題還是盡量用課內的技巧,得分大概會比較有保證。奧數的說明,自由空間相對大一點,容易講得清楚,就可以多嘗試使用。

原本∠BMC + ∠AMD = 180o的條件當中,兩隻角都以M為頂點,但又不是對頂角,看茼n像沒什麼關係,不過既然加起來是180,那大概可以有三種聯想︰一是直線上的鄰角,那嘗試的方向就可能是延長AM或BM之類;二是同旁內角,那就要加輔助線,比如平行於BM或MC的輔助線之類;三是圓內接四邊形,先把△AMD與△BNC拼成一個四邊形再說。第三個想法是成功的,當然可能有別的聯想方式也能成功,這個讀者可以自己探索一下。

談起學數學,學生有時覺得對數學的興趣只是一般,未必感到很大的樂趣,反而有不少苦悶的時候,這是常見的情況。就算是筆者,學數學學了好些日子,也有不少苦悶和沮喪的時候。感到津津有味的時候,當然也是很多,但久不久看到一些數學題,背景知識不太熟,又沒有時間去練得熟的時候,對蚚躞D也會覺得苦悶。

學習有趣味盎然的時候,也有苦悶的時刻,經歷多了,就明白趣味是怎樣來,苦悶又怎樣來,也就知道怎樣令學習變得有趣一點。生活總是要學習很多事情,明白怎樣培養學習的興趣,是畢生受用的事。遇茩W悶的時候,可以理解為學習的一部分,或許可以找到別的方法來加添樂趣。

覺得苦悶,主要是常見的因素導致,比如看茠漯F西不太熟練,那挑戰難題時就苦悶了,解決方法是找些淺一點的;當下狀態未夠好,可能是有點精神疲累,那費神解難的時候,又會覺得吃力和苦悶;看起來好像很多東西都記不住,不太明白,那又會苦悶,不妨找些明白的,多看幾次,等基礎好一點後再看新的,那又會好一點。

學數學其中一個重點,大概就是怎樣在一本數學書裡找到樂趣,遇到苦悶的時候,有什麼方法令自己看下去,也是重要的。 ■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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