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【奧數揭秘】解幾何題當中的枝節

2019-12-19

長方形是很常見的圖形,若是分成了四份,加一點資料,再看看面積的關係,原來問題也可以相當難。

問 題:ABCD為長方形,X和Y分別為AB和BC上的點。若△AXD、△BXY和△DYC的面積分別為5、4、3,求△DXY的面積。(圖一)

答 案:設AD = x,DC = y,則AX = [10][x] ,YC = [6][y] ,再考慮△BXY的面積,得

[1][2] (y - [10][x] )(x - [6][y] ) = 4

xy + [60][xy]  -6 - 10 = 8

(xy)2 - 24xy + 60 = 0

由於長方形面積為xy,而△DXY的面積為xy - 3 - 4 - 5 = xy - 12,注意到上式配方後可得出xy - 12,於是用配方法,得(xy - 12)2 = 84,因此DXY的面積為xy - 12 = 2[21] 。

這題做起來有點挑戰性,做題目時若果未知數設了別樣的,就會複雜不少,若是設了AX為x,那計算整個長方形的面積時,代數式就沒有那麼簡單。做奧數時都是見步行步的,看到代數式當中的變化,才想得到下一步。當中比較可以預見的,只有把長和闊分別設成x和y之後,面積可以簡單表示成xy,其餘的都是做下去才看得出。

題目做起來有難度,中學生往往對幾何都有點怕,因為課程內年年都有幾何,定理和定義都要綜合應用,邏輯又要嚴格,所以做起來時,背景知識要熟。不過即使基礎穩了,解題時還是變化相當大,不時感到無從入手。這題不單是普通的幾何題,若果未知數隨便設的話,多了幾個未知數,即使列再多等式,也未必看得出方向。

做這些幾何題,大致上都是要用最少的未知數表達最多的數量,比如設了AD = x,那麼AX就是[10][x] ,仍然用x表示就好,但有時學生可能會設AX = u,然後計好一會兒才看到u = [10][x] ,這雖然到最後都是一樣,但計算起來又煩了一截。要做好這些小小步驟,當中有點小巧的心算能力,說簡單是簡單得很,但用起來卻會令解題時簡潔許多。

過程中也許又會有個想法,看到等式只有一條,未知數有兩個,而未知數本身又沒什麼限制,好像未有足夠方程去解,看荋N容易放棄,或者心裡老是想預見到怎樣發展,又思考了不少時間。其實兩個未知數到最後都沒有被解出來的,只是剛好乘在一起時,那個積計得出來而已,邊做邊看就好,也不一定要想得很遠,看得清楚才試下去。

能完整解決一道題目,答案可能只有十行八行,但當中的枝節就多了,有些是數學上想不到,有些是心理上有困惑,沮喪感太大,沒能持續思考下去。

讀數學書有時難處也是類似的,就是看茧狙蛃犰n像很順利,到自己解的時候就枝節叢生,繞的彎許多,但總是繞不到答案那裡去。

有時看茤w理的證明,沒想到寫的內容是別人經過長時間思考才得到的結果,背後繞過的彎其實都沒寫出來,單看茖漕ワ_思妙想,就覺得數學好像很難理解似的。看數學書時覺得難以明白,有時只是因為別人想了許久的東西,自己無法三兩分鐘就想得出來,所以許多變化就顯得太神奇,太不可思議,這點難以理解,其實明白了就覺得很合理。 ■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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