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【奧數揭秘】等腰三角形

2019-12-05

在中二左右,課程大概進入等腰三角形和等邊三角形的部分,這類題目的變化很多,尤其當內容滲入一些中一的平行線知識後,基礎未穩的學生就會感到生疏,解題時老是想不通。這時候找書或上網,查一查平行線的知識,一邊看茪中@時的定理,一邊解題,那會比較有效。有時幾何的定理未熟練,忘了大半的事情是很難拿出來用的,所以對茪@大堆定理來解題比較有用。

這次分享一道關於等腰三角形和等邊三角形的問題。

問題:在△ABC中,AB = AC。D、E和F分別在線段AB、BC和CA之上,其中△DEF是等邊三角形。求證:∠DEB = [1][2]  (∠ADF + ∠CFE)。(圖一)

答案:由於△DEF是等邊三角形,所以三隻內角都是60o。

再由AB = AC,設x = ∠B = ∠C。

另外,根據三角形的外角,得x + ∠DEB = 60o + ∠ADF及x + ∠CFE = 60o + ∠DEB。兩式相減,消去x,得∠DEB - ∠CFE = ∠ADF - ∠DEB。整理後得∠DEB = [1][2]  (∠ADF + ∠CFE)。

這道題目不算複雜,當中技巧主要是等腰三角形的底角相同,從而列出兩條關於底角與條件中的角的關係算式,之後消去底角,就得到題目要求的算式。幾何定理中有許多算式,說到底就是幾個角幾條線之間有數量上的關係,知道其中一部分,可以推出餘下部分的意思。有了這個想法,就大概知道要證明一些等式的時候,不斷用各種定理去找關係,漸漸就會浮現出題目所要求的東西。

在找關係時,盡量找一些跟已知大小的角相關的,也找些圖形裡多次出現的角相關的,比如等腰三角形的底角就出現了兩次。

在連繫茼U樣的關係時,由於已知的角和多次出現的角,大概都是同一堆,於是加減起來也就容易了。即使算不出數字的答案,也有助化簡。

把幾何定理當中的算式關係,幾隻角幾條邊的一堆一堆地看,將各樣的關係重重疊疊起來,然後找找在解題中有什麼線索,不時都是一個好的方法。平常的學生,往往見茪@條定理就只是一條,很零碎的,幾條合起來就覺得有點亂,又多又煩,未能夠把邊和角成組地看,從而作出較深遠的洞察。

比如說等腰三角形的三隻內角,雖然有三隻,但其中兩隻是一樣的,而且只需要知道其中一隻底角x,那麼頂點的角也可以用x表示的,也就是180o - 2x。反過來說,知道頂點的角,也可以用來表示底角。總之三隻角實際上就只有一個未知數。把幾個未知的數,化簡成一個未知數來討論,想法就可以簡單許多。

又比如討論平行線的角,談起同位角、錯角和同旁內角,混合在一起來說,其實就是對於一對平行線,有一條斜線與它們相交時,就有8隻角,而說到底這8隻角就只有兩個數量,就是圖二中紅色與綠色那樣大小,並且兩個數加起來是180o。也就是說,8隻角中,實際就只有一個未知數。

幾何問題中,能一組一組的關係來看,明白實際要計出來的未知數大概有幾多個,那就少了一點迷惑的感覺,思考也就多了線索。 ■張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校

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