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■初中生動手建分形模型。 作者供圖
助建智慧城市 寫成《星戰》熔岩
16世紀科學家伽利略認為，宇宙是以數學語言寫成，它的字母就是三角形、圓形等幾何圖形。
自然界中的事物，我們會以不同的幾何圖形描述，如地球為球體，蜂巢為六角形等等。沒有這些幾何圖形，我們就不能理解這個世界。
20世紀數學家首發現
然而，自然界的雲層、山嶺、海岸線等，形狀不規則，不能以普通的幾何圖形來準確描述。
到了20世紀，數學家Benoit Mandelbrot發現「分形」此一數學概念，實為基礎科學中所欠缺的一塊拼圖。若沒有「分形」，我們就不能全面地理解自然世界。
以「自相似性」為基礎 描述不規則形狀
細心觀察下左圖中的羅馬椰菜花（又稱寶塔花菜，Romanesco broccoli），再看看下右圖中的蕨類植物：它們局部展示的形狀（紅圈所示），與整體形狀相似，這種特點稱為自相似性（self-similarity）。
維度以分數表達
Mandelbrot發現自然界有許多擁有自相似性特點的物事，例如蜿蜒的海岸線、連綿的山嶺等等，在自相似性的基礎下，Mandelbrot認為我們中小學所學習的歐氏幾何（Euclidean Geometry）不能完整描述形狀，故此他創立了另一種幾何-分形。
歐氏幾何讓我們以零維認識「點」，一維理解「線」，二維明白「面」和三維描述「體」，甚至以四維的「時空」，歐氏幾何的維度都是整數。而分形為不規則圖形，不能以歐氏幾何來分析，分形的維度是以分數來表達的。
例如英國的海岸線是1.25維，西蘭花是2.66維，當中計算複雜，涉及對數（logarithm），在此不贅。
見於城市網絡系統 電影特效
科學家及數學家發現，除了在自然界，「分形」亦存在於動物、人類、甚至社會中。人類的身體中，血管的排列、肺部氣管的組合，實為分形。如果以這個想法去了解人體，可以幫助醫生更準確估算藥物如何到達病人體內。
在現代生活中，我們經常接觸到各樣的網絡，如交通網絡、電纜、污水系統、資訊系統，甚至我們日常使用的社交網絡，都展現出分形的特徵。如果希望了解如何有效供電、排放污水及傳播資訊，我們需要學習分形，以助準確的城市規劃。
分形亦使用於電腦特技，例如《魔戒》電影三部曲中的山嶺，又或《星球大戰》中的熔岩，均以分形所製。
初中生動手建模型
學習不一定要在課室內，亦不一定要對着課本及考試。
今年年初曾與香港科技園公司舉辦過一個讓初中生學習分形的活動，學生先以氣球把基本的單位三角錐體組起來，再把一樣的三角錐體組成更大的三角錐體（上圖），讓他們理解分形的自相似性，親手做一次比起紙上談兵更有效。
最後，與一百多名中學生聯手製作高達7米數學上稱為Sierpinski tetrahedron的三角錐體。
小結
科學並非只局限於實驗室內，數學亦非數學家腦海中的天馬行空。我們不要以為科學及數學只是校內課程，進步的醫療及通訊系統，以至2016年特區政府施政報告提及的智慧城市，都需要基礎數學和科學概念的幫助去實現。 ■吳俊熙博士
作者簡介：畢業於加州大學洛杉磯分校（UCLA），曾在加州的州立大學教授化學，現任教於香港大學。聯絡：www.facebook.com/drbennyng。
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