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2016年5月18日 星期三
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科學講堂:數學「分形」釋萬物「自似」


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■初中生動手建分形模型。 作者供圖

助建智慧城市 寫成《星戰》熔岩

16世紀科學家伽利略認為,宇宙是以數學語言寫成,它的字母就是三角形、圓形等幾何圖形。

自然界中的事物,我們會以不同的幾何圖形描述,如地球為球體,蜂巢為六角形等等。沒有這些幾何圖形,我們就不能理解這個世界。

20世紀數學家首發現

然而,自然界的雲層、山嶺、海岸線等,形狀不規則,不能以普通的幾何圖形來準確描述。

到了20世紀,數學家Benoit Mandelbrot發現「分形」此一數學概念,實為基礎科學中所欠缺的一塊拼圖。若沒有「分形」,我們就不能全面地理解自然世界。

以「自相似性」為基礎 描述不規則形狀

細心觀察下左圖中的羅馬椰菜花(又稱寶塔花菜,Romanesco broccoli),再看看下右圖中的蕨類植物:它們局部展示的形狀(紅圈所示),與整體形狀相似,這種特點稱為自相似性(self-similarity)。

維度以分數表達

Mandelbrot發現自然界有許多擁有自相似性特點的物事,例如蜿蜒的海岸線、連綿的山嶺等等,在自相似性的基礎下,Mandelbrot認為我們中小學所學習的歐氏幾何(Euclidean Geometry)不能完整描述形狀,故此他創立了另一種幾何-分形。

歐氏幾何讓我們以零維認識「點」,一維理解「線」,二維明白「面」和三維描述「體」,甚至以四維的「時空」,歐氏幾何的維度都是整數。而分形為不規則圖形,不能以歐氏幾何來分析,分形的維度是以分數來表達的。

例如英國的海岸線是1.25維,西蘭花是2.66維,當中計算複雜,涉及對數(logarithm),在此不贅。

見於城市網絡系統 電影特效

科學家及數學家發現,除了在自然界,「分形」亦存在於動物、人類、甚至社會中。人類的身體中,血管的排列、肺部氣管的組合,實為分形。如果以這個想法去了解人體,可以幫助醫生更準確估算藥物如何到達病人體內。

在現代生活中,我們經常接觸到各樣的網絡,如交通網絡、電纜、污水系統、資訊系統,甚至我們日常使用的社交網絡,都展現出分形的特徵。如果希望了解如何有效供電、排放污水及傳播資訊,我們需要學習分形,以助準確的城市規劃。

分形亦使用於電腦特技,例如《魔戒》電影三部曲中的山嶺,又或《星球大戰》中的熔岩,均以分形所製。

初中生動手建模型

學習不一定要在課室內,亦不一定要對蚑狴誘峖珚捸C

今年年初曾與香港科技園公司舉辦過一個讓初中生學習分形的活動,學生先以氣球把基本的單位三角錐體組起來,再把一樣的三角錐體組成更大的三角錐體(上圖),讓他們理解分形的自相似性,親手做一次比起紙上談兵更有效。

最後,與一百多名中學生聯手製作高達7米數學上稱為Sierpinski tetrahedron的三角錐體。

小結

科學並非只局限於實驗室內,數學亦非數學家腦海中的天馬行空。我們不要以為科學及數學只是校內課程,進步的醫療及通訊系統,以至2016年特區政府施政報告提及的智慧城市,都需要基礎數學和科學概念的幫助去實現。 ■吳俊熙博士

作者簡介:畢業於加州大學洛杉磯分校(UCLA),曾在加州的州立大學教授化學,現任教於香港大學。聯絡:www.facebook.com/drbennyng。

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