現在的學生，每天放學後回家，路程車程都是一個小時左右，回到家裡，開水龍頭就有水。
落後的地區就不同了，可能要在井裡打水，或者在河邊盛水回家，回家的路，可能要走兩三小時。
想像落後地區的一個學生，每天放學後，總拿着水桶，到河邊盛水，順道洗刷一下，然後回家，路途這麽遠，總是想走得近一點。這裡有個最短路徑的問題。
問 題
用圖像來表示（下圖），學生每天由C點到河邊的E點，然後回到家裡的D點，其中E點在什麽位置，會使到總距離CE+ED最短呢？
答 案
若是把E左右移動，不太容易發現那個令CE+ED最短的位置。這裡有個特殊技巧，就是反射。
考慮代表河邊的線為對稱軸，C點反射到F點，那麽FE的距離就是CE的距離。因此要找到最短的CE+ED，即要找最短的FE+ED。明顯地，當E點在直線FD上，即圖上的G點，FE+ED為最短。
運用反射技巧 坐標幾何亦可解
以上的問題，用到了反射，這是一個幾何變換的技巧。這個變換的特性是，原像點C和反射後的點F各自與對稱軸的距離相等，進一步普遍一點來說，是對於對稱軸上任何一點E，CE與FE都相等。
反射在日常生活上，常見的情景就是照鏡子，或者是在河邊看倒影。看着倒影裡的自己，跟自己一般的大小，但又左右相反。有時把手指碰碰鏡面，看着鏡子裡的手指，就是跟自己手上的一般大。
反射的幾何特性之一，就是保持了物件的大小。再談談之前的問題，若果問題不用反射，而是用坐標幾何的角度看，會看到什麽呢？
假設C點坐標為(0,-2)，D點為(6,-4)，代表河邊的線為x軸，E點為(a,0)。那麽代表路線總距離的代數式為 [a2+(-2)2+] [(a-6)2+(-4)2=] [a2+4+] [a2-12a+52]。這道代數式要求最小值，也不是很輕鬆的，即使技巧夠，也沒用反射那麽直觀。套用之前的解法，F點就是(2,0)，而最短總距離就是 [62+(2+4)2=6] [2]。
而且經過幾何變換這樣處理一下，再由代數的角度看，又會看到 [a2+4+] [a2-12a+52?6] [2]這個不太明顯的不等式。因此多了反射的角度，不單是多了一個技巧，而是更進一步可以配合代數的角度，有了發現不等式或其他數學結果的方法。
這個反射的變換，說到底就是照鏡子那回事，天天都在幹。不過若是能配合另一些數學工具，卻是連不等式也發現出來了。這也是數學令人驚喜的地方。 ■張志基
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