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【奧數揭秘】河邊倒影問最短路徑

2017-01-18

現在的學生,每天放學後回家,路程車程都是一個小時左右,回到家裡,開水龍頭就有水。

落後的地區就不同了,可能要在井裡打水,或者在河邊盛水回家,回家的路,可能要走兩三小時。

想像落後地區的一個學生,每天放學後,總拿茪翿瞴A到河邊盛水,順道洗刷一下,然後回家,路途這牴楚A總是想走得近一點。這裡有個最短路徑的問題。

問 題

用圖像來表示(下圖),學生每天由C點到河邊的E點,然後回到家裡的D點,其中E點在什泵鼽m,會使到總距離CE+ED最短呢?

答 案

若是把E左右移動,不太容易發現那個令CE+ED最短的位置。這裡有個特殊技巧,就是反射。

考慮代表河邊的線為對稱軸,C點反射到F點,那政E的距離就是CE的距離。因此要找到最短的CE+ED,即要找最短的FE+ED。明顯地,當E點在直線FD上,即圖上的G點,FE+ED為最短。

運用反射技巧 坐標幾何亦可解

以上的問題,用到了反射,這是一個幾何變換的技巧。這個變換的特性是,原像點C和反射後的點F各自與對稱軸的距離相等,進一步普遍一點來說,是對於對稱軸上任何一點E,CE與FE都相等。

反射在日常生活上,常見的情景就是照鏡子,或者是在河邊看倒影。看茩佷v裡的自己,跟自己一般的大小,但又左右相反。有時把手指碰碰鏡面,看蚚銴l裡的手指,就是跟自己手上的一般大。

反射的幾何特性之一,就是保持了物件的大小。再談談之前的問題,若果問題不用反射,而是用坐標幾何的角度看,會看到什洸O?

假設C點坐標為(0,-2),D點為(6,-4),代表河邊的線為x軸,E點為(a,0)。那洛N表路線總距離的代數式為 [a2+(-2)2+] [(a-6)2+(-4)2=] [a2+4+] [a2-12a+52]。這道代數式要求最小值,也不是很輕鬆的,即使技巧夠,也沒用反射那洩複[。套用之前的解法,F點就是(2,0),而最短總距離就是 [62+(2+4)2=6] [2]。

而且經過幾何變換這樣處理一下,再由代數的角度看,又會看到 [a2+4+] [a2-12a+52?6] [2]這個不太明顯的不等式。因此多了反射的角度,不單是多了一個技巧,而是更進一步可以配合代數的角度,有了發現不等式或其他數學結果的方法。

這個反射的變換,說到底就是照鏡子那回事,天天都在幹。不過若是能配合另一些數學工具,卻是連不等式也發現出來了。這也是數學令人驚喜的地方。 ■張志基

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