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【奧數揭秘】「染色」破剪紙難題

2017-05-31

平常的一張長方形方格紙,比如圖一之中的,若是要求把全個圖形剪開成許多個1×2的小長方形(橫和直都可以),這個是沒難度的。

換一個情況,試把對角的兩個正方形拿走,成為圖二那樣,再觀察一下,看看還能不能完全剪開成1×2的小長方形。

由於格數不多,不難看出這個是做不到的。於是有個問題,就是格數多的時候,怎知道它是不可能的呢?

問 題 一

若把大方格紙剪去兩對角,如圖三那樣,那炫鄑_完全剪開成一個個1×2的小長方形?

答 案

若是不斷去嘗試兩個兩個地數荂A嘗試的方法是很多的,不過即使試了很多次,除非試到有一次成功,否則也頗難確定是否真的不行。

多試幾次試不到,最多能主觀地比較相信它不可能,還未是它不可能的確據。

以下用到了一個染色的技巧,就能看到為什洶ㄔi能。

把方格紙染上黑白色,如圖四那樣,會看到黑格比白格多兩個,這有什洛峏O?要注意到1×2的小長方形,無論在什泵鼽m,總是一黑一白。因此黑格比白格多的圖四,必然不可能完全剪成1×2的小長方形。

多練習「普遍化」思維

解題當中,用到了染色的技巧,而且不難看出,這個染色的技巧,無論圖形多大,或者根本不是大長方形,只需要符合黑白格數量不同的條件,就可以知道它不能被剪成小長方形。1×2的小長方形,其實在證明中是一黑一白,成了解題關鍵,而這個也可以普遍一點地看,原來只需要黑與白是1:1就行了,於是也可以講到,其實1×4和2×2的小矩形,也是無法剪出的。

剛才這一段,展示了一種普遍化的思維,就是在理解證明之中,洞悉關鍵,然後知道題目之中的條件如何改變,推論仍然成立。這個思考方式在數學之中是常用的,也有許多不同的層次。因蚍ずヰ壅悛澈p薄,也會聯想起不同的普遍化的方式。這樣的思考方式,可以在特殊的現象之中,看到更多的普遍事理,把個別的技巧擴大應用範圍,因此不單是一個數學技巧,而是一個普遍的思想技巧。

要留意到這樣的普遍化,是基於題目之中的解法。若是解法不同,經普遍化而得的結果亦大不相同。試想像若是純粹用一個一個數的方法去解剛才的問題,即使嘗試普遍化,所得的結果就未必有原先的那玲蚴p。

以上是由剪紙之中,講到了染色技巧,然後示範了一點普遍化的思維,當中普遍化尤其重要,是學好數學的關鍵,值得多練多想。 ■張志基

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