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【奧數揭秘】紙盒能放幾枚擦膠?

2017-09-13

奧數班的學生有不少都是挺聰明的,表現好的,有時候老師也會送一點文具給學生。談起送文具,比如送擦膠,一買就會買很多枚,那自是會便宜一點的。買的時候,把許多枚一樣大小的擦膠放入盒子裡,這裡也有個數學問題。

問 題

一個長方體形狀的盒子,尺寸為5cm×5cm×8cm,裡面最多可以放多少枚尺寸為2cm×2cm×3cm的擦膠?

錯 解

這問題有一種很易錯的解法,以下先介紹錯解,讀者也可以試試能否看出答案錯在哪裡,然後再介紹正確的解法。

平常的看法,多數就是一枚一枚地並排放入去就是了,能放多少就多少。只是仔細點看,擦膠怎樣放才好,比如擦膠3cm那一邊,對茞陘l5cm的那邊好,還是對8cm的那邊好?

再想想,既然要是最多的,那珊蕭扛漱堣o中,若是有些數字能整除盒子尺寸中的數字,那泵雂皉酗@邊就是能填滿了,比如擦膠一邊是2cm,盒子一邊是8cm,這一邊就能放8÷2=4枚擦膠。

若是沿茬o樣的思路,可能會問,那洵O不是之後再看看5÷2=2...1,得知5cm那邊有2枚,然後5÷3=1...2,得知另外5cm那邊有1枚,那樣全盒就能放4×2×1=8枚。這樣的想法是常見的,但在這情況下卻是錯的。

正 解

先用體積估算最多能有多少枚。[5×5×8][2×2×3][=][200

12][200

12][=16...8]  ,由體積看,最多只可能有16枚,但這還未可以確認16是否答案,因為未知道是否真的存在可以放入16枚的方法。

不過原來真的有方法可以放入16枚的,方法如下:

考慮5cm×5cm的一面,然後把擦膠3cm×2cm的一面填上,如圖一。

這樣拼合的方法,5cm×5cm的那邊就只剩一小格,這一面可以有4枚。

另外,盒子另一邊為8cm,擦膠餘下一邊為2cm,因此這樣的拼法可以有8÷2=4層。共可放擦膠4×4=16枚。

以小見大 貨櫃裝貨亦可應用

要想到這個正解不太容易,因為平常放擦膠入盒子,不外乎都是橫放或是豎直放,也沒怎炤Q過有什炫S別的放置方式。只是問起盒子最多可以放多少枚擦膠,講到最多的問題,又不能說隨便橫放豎放就可以確認答案了,這很易錯。

小學階段,講起體積,有時也會遇上這些問題,但數字多數都是特別設計過的,多數用點簡單的想法就做得到了。

這個放擦膠入盒子的問題,其實推廣得遠一點,就是把小長方體放入大長方體最多可以放多少個的問題。比如把行李箱放入大貨櫃,也是這樣的問題。不難留意到的是,那些尺寸的長闊高不一樣,那些拼合的方式也可大不相同,若是小長方體的尺寸之間彼此有差異,自是更難了。想像一下運貨物的情景,要是大貨櫃能放下多幾個行李箱,那樣大概可以用少一點貨櫃的,也就省點錢,這問題挺實用的,又普遍得很。

這個實用的問題,回頭看看怎樣提出來,其根本就只是把擦膠放入盒子那回事,相關的問題在小學的練習上也見過不少,只是數字改了一些。

若是平日多點留意課內的應用題,習慣改變了數字時,解法是否差不多,那久不久就會發現到問題可能比想像中複雜多了,又會看到更多可以探索的事情。習慣養成了,長遠得荋N大了。 ■張志基

簡介:香港首間提供奧數培訓之教育機構,每年舉辦奧數比賽,並積極開辦不同類型的奧數培訓課程。學員有機會獲選拔成為香港代表隊,參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

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